例說導數(shù)在方程及不等式有關問題中的應用

摘 " "要： 運用函數(shù)思想，將方程根的問題和不等式成立及求解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性、極值與最值，再利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，從而解決問題.充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想，也滲透多種數(shù)學思想方法的運用.

關鍵詞： 導數(shù) " "函數(shù) " "方程 " "不等式

“函數(shù)”是整個高中數(shù)學的核心，貫穿整個高中數(shù)學教學的始終;方程與不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，函數(shù)與方程、不等式之間有著密切的聯(lián)系，三者之間的綜合問題能較好地考查學生對數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的掌握情況，以及學生分析問題、解決問題的能力，解不等式恒成立問題時，通常會對不等式進行恒等變形，轉(zhuǎn)而求有關函數(shù)的最值問題.此時，我們經(jīng)常會遇到其函數(shù)并不是我們已學過的基本函數(shù)，或是其最值并不能用基本不等式法，復合函數(shù)求最值等.然而如果我們能設法畫出其函數(shù)的圖像，其最值問題就能迎刃而解，此時導數(shù)作為刻畫工具能派上大用場.

例1：已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=■，若不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍.

【解析】方法一：由kx≥■，x∈（0，+∞）得k≥■，令h（x）=■，

則問題轉(zhuǎn)化為k大于等于h（x）的最大值.

又h′（x）=■，∵x>0，令h′（x）>0？圯0

∴當x=■時，f（x）■=f（x）■=f（■）=■，

因此k≥■.

方法二：設h（x）=f（x）-g（x），利用導數(shù)求h（x）的最值.

【方法歸納】

利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的常用思想方法及步驟.

（1）分離參數(shù)法：

第一步：將原不等分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題：

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值;

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

（2）函數(shù)思想法：

第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題;

第二步：利用導數(shù)求函數(shù)的最值;

第三步：構建不等式求解.

例2：討論方程lnx=x（x■-2ex+m）的根的個數(shù).

【解析】方法一：分離參數(shù)m=■-x■+2ex.

方法二：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題■=x■-2ex+m，分別畫y■=■和y■=x■-2ex+m的圖像.

當m>e■+■時，方程無根.

當m=e■+■時，方程只有一個根.

當m

【變式】已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=■，當k∈R時，試討論 f（x）和g（x）的公共點個數(shù).

【方法歸納】

利用導數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式方程解的個數(shù)問題的一般思路：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與x軸（或直線y=k）在該區(qū)間上交點問題;

第二步：利用導數(shù)研究出該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值（最值）、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像;

第三步：結(jié)合圖像求解.

歸納總結(jié)：

（1）利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參數(shù)不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

（2）使用導數(shù)的方法研究方程的根的分布，其基本思想是構造函數(shù)后，應用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即先通過“數(shù)”的計算得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再使用“形”的直觀性得到方程的根的分布情況.