Matlab 在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】 大學(xué)數(shù)學(xué)課程比較抽象，如果完全采取傳統(tǒng)的教學(xué)模式，很多學(xué)生很難真正地理解和掌握. 本文將Ｍａｔｌａｂ軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能、符號(hào)計(jì)算功能以及圖形可視化與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合，將Ｍａｔｌａｂ 軟件應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一種較好的教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】 Ｍatlab軟件；大學(xué)數(shù)學(xué)； 教學(xué)方法

【基金項(xiàng)目】貴州省教改重點(diǎn)項(xiàng)目——大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程的教學(xué)改革研究與實(shí)踐（黔教高發(fā)［２０１３］446號(hào)）.

一、引言

Ｍatlab的名稱(chēng)源自 Ｍａｔｒｉｘ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， 它是一種科學(xué)計(jì)算軟件，由美國(guó) Ｍａｔｈ Wｏｒｋｓ 公司開(kāi)發(fā)的集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形可視化三大基本功能于一體的、功能強(qiáng)大、操作簡(jiǎn)單的語(yǔ)言. 它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，應(yīng)用非常廣泛. 本文僅討論Ｍatlab在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

二、Ｍatlab 在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1． Ｍatlab在函數(shù)極限教學(xué)中的應(yīng)用

在大學(xué)數(shù)學(xué)分析中有這樣一道例題：

例１ 討論極限

Ｌ ＝ ■■與

Ｌ ＝ ■■，其中ａｎ，ａｋ，ｂｍ，ｂｊ是非零實(shí)數(shù). 經(jīng)過(guò)一系列的討論，我們知道

Ｌ ＝ ■，ｎ ＝ ｍ，０，ｎ ＜ ｍ，∞，ｎ ＞ ｍｌ ＝ ■，ｋ ＝ ｊ，０，ｋ ＞ ｊ，∞，ｋ ＜ ｊ. 這是兩個(gè)很重要的公式.因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到類(lèi)似的題目，如果每次都按照討論的方法去做，那將花費(fèi)很多時(shí)間，對(duì)于一些基礎(chǔ)差的同學(xué)，甚至可能會(huì)算錯(cuò)或者根本就不會(huì)做. 因此，如果真正地理解和掌握了這兩個(gè)公式，將給學(xué)生帶來(lái)很大的方便. 然而在教學(xué)的過(guò)程中我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生雖然表面上聽(tīng)懂了，但還是沒(méi)有真正地理解. 這時(shí)我們可以借助Ｍataab的圖形可視化功能，通過(guò)具體的實(shí)例，從圖像上演示給學(xué)生看，讓學(xué)生真正地理解當(dāng)x→∞或者x→0函數(shù)圖像的變化過(guò)程，從而真正地理解和掌握這兩個(gè)公式. 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我僅對(duì)n = m和k = j的情況進(jìn)行分析，其他情況可以類(lèi)似地處理.

（１）當(dāng)x→∞，n = m時(shí)，我們考慮下面的函數(shù)極限問(wèn)題：

■■，首先我們令ｆ（ｘ）=■，利用Ｍａｔｌａｂ作圖工具畫(huà)出ｆ（ｘ）=■在［１０，５０００］的圖像（如圖１），然后引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察函數(shù)圖像隨著x的不斷增大，函數(shù)慢慢地趨于一個(gè)數(shù)，然后結(jié)合第一個(gè)公式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)就是我們要求的極限■ = ■ = 3．

（２）當(dāng)x→0，k = j時(shí)，我們考慮下面的函數(shù)極限問(wèn)題：

■■，首先我們令ｆ（ｘ） = ■，利用Ｍａｔｌａｂ作圖工具畫(huà)出ｆ（ｘ） = ■在（０，１）的圖像（如圖２），然后引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察函數(shù)圖像當(dāng)x趨于０時(shí)，函數(shù)慢慢地趨于一個(gè)數(shù)，然后結(jié)合第二個(gè)公式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)就是我們要求的極限■ = ■ = 2．

通過(guò)這樣一種教學(xué)方式，不僅加深了學(xué)生對(duì)公式的理解和掌握，還使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用公式求解相關(guān)的習(xí)題，從而取得較好的教學(xué)效果.

２． Ｍatlab在方程求根教學(xué)中的應(yīng)用

在大學(xué)數(shù)值分析教學(xué)中，我們會(huì)遇到很多數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，例如求方程ｆ（ｘ） = 0的根，雖然在理論上已經(jīng)有很多數(shù)值方法，如二分法、牛頓迭代法等，但是學(xué)生一般不太容易知道根的個(gè)數(shù)和大概位置，由于計(jì)算的復(fù)雜性，在做題的過(guò)程中也不知道計(jì)算結(jié)果是否準(zhǔn)確. 面對(duì)這些問(wèn)題，我們可以借助Ｍatlab圖形可視化功能和一些方程求根命令來(lái)進(jìn)行輔助教學(xué)． 首先我們可以畫(huà)出函數(shù)ｙ ＝ ｆ（ｘ）的圖像，ｆ（ｘ） ＝ 0的根即為ｙ ＝ ｆ（ｘ）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以讓學(xué)生從視覺(jué)上確定根的個(gè)數(shù)和大致位置，再利用求根命令求出根的具體數(shù)值，使學(xué)生能夠?qū)⒆约旱挠?jì)算結(jié)果和準(zhǔn)確的結(jié)果進(jìn)行比較，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果. 下面我們通過(guò)一道例題來(lái)分析一下.

例２ 已知ｆ（ｘ） ＝ ｘ - cos2x，求方程ｆ（ｘ） = 0在x = 1附近的根.

這是一個(gè)超越方程，首先在區(qū)間［０，２］上作出ｆ（ｘ） ＝ x-cos2x的圖像（如圖３），從圖像我們可以觀(guān)察到方程在區(qū)間［０，２］只有一個(gè)根，根的大致位置在x = 0.6附近，然后利用求根命令，在Ｍａｔｌａｂ命令窗口輸入：ｘ ＝ ｆｚｅｒｏ（’ｘ－（ｃｏｓ（ｘ））＾２’，１），便可求出ｘ ＝ ０．６４１７.

3． Ｍａｔｌａｂ在常微分方程教學(xué)中的運(yùn)用

在微分方程的教學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常需要講習(xí)題課和為學(xué)生批改大量的作業(yè)，而有的習(xí)題相對(duì)比較復(fù)雜，如果每道題目我們都親自去做，這將花費(fèi)很多時(shí)間. 另外很多題目的解題方法都是一樣的，沒(méi)有必要浪費(fèi)時(shí)間去做一些重復(fù)的工作. 這時(shí)我們可以借助Ｍａｔｌａｂ軟件來(lái)求解微分方程的通解或特解，從而可以節(jié)約很多時(shí)間，更好地為教學(xué)服務(wù). 在Ｍａｔｌａｂ中，求解常微分方程（組）使用的是ｄｓｏｌｖｅ 函數(shù)，具體格式為：

Ｒ＝ｄｓｏｌｖｅ（′ｅｑｎ１′，′ｅｑｎ２′，…，ｃｏｎｄ１′，′ｃｏｎｄ２′，…，′ｖａｒ′．

其功能為求解滿(mǎn)足初始條件的特解，若無(wú)初始條件，則求出通解. 其中eqni表示第i個(gè)微分方程，condi表示第i個(gè)初始條件，var表示微分方程（組）中的自變量，默認(rèn)時(shí)自變量為ｔ. 在Ｍａｔｌａｂ中，約定Ｄ１表示一次微分，Ｄ２表示二次微分，Ｄ３表示三次微分，依次類(lèi)推，Ｄｎ表示ｎ次微分，符號(hào)Ｄｙ相當(dāng)于Ｄｙ／Ｄｔ. 函數(shù)ｄｓｏｌｖｅ把Ｄ后面的變量當(dāng)作因變量，并默認(rèn)是對(duì)自變量ｔ求導(dǎo)，當(dāng)然也可以指定其他的自變量. 下面我們通過(guò)兩道例題來(lái)演示ｄｓｏｌｖｅ 函數(shù)的用法.

例３ 求解二階微分方程ｙ″ － ｙ′－ ２０ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ當(dāng)ｙ（０） ＝ １，ｙ′（０） = 2時(shí)的特解．

首先在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中輸入：

ｒ＝ｄｓｏｌｖｅ（′Ｄ２ｙ－Ｄｙ－２０*ｙ＝ｓｉｎ（ｘ）′，′ｙ（０）＝１，Ｄｙ（０）＝２′，′ｘ′）

按回車(chē)鍵便可得到下面的運(yùn)算結(jié)果：

ｒ＝（５０*ｅｘｐ（－４*ｘ））／１５３＋（１５７*ｅｘｐ（５*ｘ））／２３４＋ｃｏｓ（ｘ）／４４２ － （２１*ｓｉｎ（ｘ））／４４２．

例４ 求方程組■ = x + y■ = -x + y在ｘ（０） ＝ １，ｙ（０） ＝ ２時(shí)的特解.

首先在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中輸入：

［ｘ，ｙ］＝ｄｓｏｌｖｅ（′Ｄｘ＝ｘ＋ｙ′，′Ｄｙ＝－ｘ＋ｙ′，′ｘ（０）＝１′，′ｙ（０）＝２′）

按回車(chē)鍵便可得到下面的運(yùn)算結(jié)果：

ｘ ＝ｅｘｐ（ｔ）*ｃｏｓ（ｔ） ＋ ２*ｅｘｐ（ｔ）*ｓｉｎ（ｔ），ｙ ＝２*ｅｘｐ（ｔ）*ｃｏｓ（ｔ） － ｅｘｐ（ｔ）*ｓｉｎ（ｔ）．

三、結(jié)語(yǔ)

本文將Ｍａｔｌａｂ軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能、符號(hào)計(jì)算功能以及圖形可視化與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合，將Ｍａｔｌａｂ 軟件應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一種較好的教學(xué)方法. 然而，如何將Ｍａｔｌａｂ軟件合理而且有效地應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，還需要進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和研究. 本文只是從幾個(gè)簡(jiǎn)單的方面闡述了Ｍａｔｌａｂ 軟件在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用. 事實(shí)上，Ｍａｔｌａｂ軟件在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用還很多，這也是我們下一步需要進(jìn)一步深入研究的課題，也是一件非常有意義的事情.

【參考文獻(xiàn)】

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