解題后學(xué)會反思

【摘要】 數(shù)學(xué)思維能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)能力中處于核心的地位. 數(shù)學(xué)思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點；能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì).

【關(guān)鍵詞】 學(xué)會反思；數(shù)學(xué)思維能力；發(fā)揮潛能

心理學(xué)研究指出，思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)和事物內(nèi)在規(guī)律性關(guān)系的概括與間接的反映. 數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，是運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題能力的前提. 數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所在. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)，把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提到了應(yīng)有的高度. 的確，數(shù)學(xué)教學(xué)中傳授知識是一方面，更重要的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去思考、研究和解決問題.

七年級學(xué)生思維能力中形象思維能力優(yōu)于抽象思維能力，為了后續(xù)學(xué)習(xí)的需要，要加強抽象思維能力培養(yǎng). 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中花費時間較多的就是解題，解題成為培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑，解題后的反思更是必不可少的，它會有醍醐灌頂?shù)氖斋@，因此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思有利于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的認(rèn)識，真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想和知識的結(jié)構(gòu)，促進其創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展，從而充分地發(fā)揮學(xué)生的智能和潛能.

在新課程改革中，更加注重知識的形成過程，關(guān)注學(xué)生獲取知識的過程，不斷地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實踐能力，而提高學(xué)生的思維能力是其核心. 七年級的學(xué)生，其形象思維優(yōu)于抽象思維，并以形象思維為主，立體發(fā)散思維較為薄弱，在數(shù)學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)筑起一個有序、有效，邏輯嚴(yán)密的思維體系，盡快提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 培養(yǎng)學(xué)生思維能力的方法很多，解題后學(xué)會反思就是其中一種. 何謂“解題反思”？一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過一番艱辛，苦思冥想解出答案之后，必須認(rèn)真進行如下探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無其他解法——一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結(jié)論進—步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論——舉一反三，多題一解？……如此種種，就是“解題反思”.

下面我從五個方面介紹解題后如何進行反思：

一、反思解題本身是否正確

由于在解題過程中，可能出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，因此解完一道題后，就很有必要審查自己的解題是否混淆了概念，是否忽視了隱含條件，是否特殊代替一般，是否忽視特例，邏輯上是否有問題等等，這樣做是為了保證解題無誤. 教學(xué)中教師應(yīng)有意識選用一些錯解或錯題，使學(xué)生真正認(rèn)識到解題后思考的重要性.

例：某種商品進價８００元，出售時標(biāo)價１２００元，后來由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但利潤率要保持５％，則商品打幾折？

解：設(shè)打ｘ折出售，根據(jù)題意得：

１２００ｘ － ８００ ＝ ８００ × ５％，解得ｘ ＝ ０．７.

解題后引導(dǎo)學(xué)生反思，這樣解對嗎？通過學(xué)生反思得知，如果將ｘ ＝ ０．７代入原題目中進行背景分析，驗證，其矛盾是明顯的，其錯誤是售價表示有誤.

正確解法：設(shè)打ｘ折后出售，現(xiàn)售價為１２００ × ■，方程應(yīng)列為１２００ × ■ － ８００ ＝ ８００ × ５％，則ｘ ＝ ７.

學(xué)生反思至少有以下兩點收獲：① 所設(shè)未知數(shù)與所列方程中未知數(shù)含義要一致. ② 商品打ｘ折出售表示在售價基礎(chǔ)上乘以■，這樣遇到類似的題目不會出錯.

二、反思有無其他解法

對于同一道題，從不同的角度去分析、研究，可能得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法，當(dāng)然我們的目的不是去湊幾種解法，而是通過不同的觀察側(cè)面，使我們的思維觸角伸向不同方向、不同層次去發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維能力.

七年級下冊“三角形”中，證明三角形內(nèi)角和定理其思路是把三個內(nèi)角拼到一起，構(gòu)成平角，可以把三個角“湊到”頂點處，也可以把三個角湊到一邊上，那么能否把三個角“湊到”三角形的內(nèi)部和外部呢？

如下圖：

過P點分別作三邊的平行線ST，MN，QR.

在左上圖中，∠Ａ ＝ ∠ＱＳＴ ＝ ∠ＳＰＮ，∠Ｂ ＝ ∠ＳＱＰ ＝∠ＮＰＲ，∠Ｃ ＝ ∠ＮＲＰ ＝ ∠ＳＰＱ.

∵ ∠ＳＰＮ ＋ ∠ＮＰＲ ＋ ∠ＳＰＱ ＝ １８０°，

∴ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

在右上圖中，∠Ａ ＝ ∠ＡＴＳ ＝ ∠ＳＰＮ，∠Ｂ ＝ ∠１ ＝ ∠ＮＰＲ，∠Ｃ ＝ ∠２ ＝ ∠ＳＰＱ．

∵ ∠ＳＰＮ ＋ ∠ＮＰＲ ＋ ∠ＳＰＱ ＝ １８０°，

∴ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

這種思考就是“一題多解”，讓學(xué)生從不同角度觀察、分析、思考，進一步體會新舊知識內(nèi)在聯(lián)系使所學(xué)知識融會貫通，使學(xué)生思維空間更廣闊，也為多邊形內(nèi)角和的探索埋下伏筆，提供解題思路.

三、反思題目能否變換引申

改變題目的條件，會引出什么新結(jié)論，保留題目的條件能否進一步加強，條件作類似變換結(jié)論能否擴大到一般，像這樣富有創(chuàng)造性的全方位思考，常常是學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識、認(rèn)識新知識的突破口.

例：有一列車身長２００米，速度為７２千米／時的慢車和一列車身長３００米，速度為１０８千米／時的快車在雙軌線上相向而行，若兩車從車頭相遇到車尾離開，需用多長時間？

分析：此題可采用質(zhì)點分析法，滲透平移理論，把兩車車尾抽象成兩個質(zhì)點，其運動方向是相向，其距離因車頭相遇可知為兩車身長之和，目的是錯車完成即兩質(zhì)點相遇，其間兩車運動狀態(tài)位置不加考慮，此問題實質(zhì)為相遇問題.

變題１：若快車追慢車，從快車車頭趕上慢車車尾到快車車尾離開慢車車頭需用多長時間？（把快車車尾、慢車車頭抽象成兩點，此問題是追及問題.）

變題２：若快車上乘客看慢車完全駛過需用多少時間？（把快車乘客抽象成一個點，他相對于慢車是怎樣運動的？）

變題３：若慢車上乘客看快車完全駛過需用多少時間？（把慢車上乘客抽象成一個點，他相對于快車是怎樣運動的？）

通過這種反思，由一題多變，側(cè)重訓(xùn)練了思維的遞進性，由多題一法，側(cè)重訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性，通過多向探索，訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性，這樣讓學(xué)生掌握解法，以達到事半功倍的效果.

四、反思解決問題后的思維方法的遷移

解完一道題目后，不妨讓學(xué)生深思一下解題程序，有時突然發(fā)現(xiàn)，這種解決問題的思維模式有時體現(xiàn)一種重要數(shù)學(xué)思想方法，它對于解決一類問題大有幫助.

七年級上冊中涉及線段的和、差、倍、分和角的和、差、倍、分，學(xué)生初學(xué)時，對這兩個知識點其思路是清晰的，但書寫有時不規(guī)范，其實有關(guān)這兩個知識點的題在書寫上是大同小異的，其基本框架相同，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對比著模仿書寫.

例如：已知直線AB，O為其上任意一點，OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC ，求∠EOF的度數(shù).

∵ OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC，

∴ ∠EOC = ∠■∠AOC，

∠FOC = ■∠BOC .

∴ ∠EOC + ∠FOC =

■∠AOC + ■∠BOC =■ × 180° = 90°.

即∠EOF = 90° .

已知線段AB，C為其上任意一點，AB = 10，點E，F(xiàn)分別平分AC，BC，求EF的長.

∵點E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，

∴ EC = ■AC，F(xiàn)C = ■BC.

∴ EC + FC = ■AC + ■BC = ■ × 10 = 5.

即EF = 5.

這兩題從圖形上觀察，其圖形構(gòu)造規(guī)律是一樣的，只不過涉及具體不同對象，這也暗含著其書寫格式的大同小異. 也必然讓學(xué)生聯(lián)想到給一道關(guān)于角的和、差、倍、分等的例題，根據(jù)其圖形形成規(guī)律，進行思維遷移，我們同樣能構(gòu)造一道類似的關(guān)于線段和、差、倍、分的例題.

五、反思條件來源及解題背景

七年級學(xué)生解題時，有時為了解題而解題，不注重思考條件背后隱含的意義，和與這道題有千絲萬縷聯(lián)系的知識點或背景題型，學(xué)生往往無從下手，一籌莫展. 教師在教學(xué)中要重點解決此類問題，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進解決問題，提高解題能力. 以七年級相交線學(xué)習(xí)為例，有道練習(xí)題引人深思.

例：三條直線相交于一點有幾組對頂角？六條直線相交于一點有幾組對頂角？ｎ條直線相交于一點有幾組對頂角？

學(xué)生拿上此題后就開始數(shù)，第一問可以，第二問就數(shù)糊涂了，第三問更是目瞪口呆，教師此時要教會學(xué)生學(xué)會分析，首先，要讓學(xué)生明白對頂角怎樣產(chǎn)生的，來自哪里，學(xué)生明白一組相交直線產(chǎn)生兩組對頂角，這是一個基本圖形，下面要引導(dǎo)學(xué)生三條直線相交于一點能分解出幾組基本圖形，學(xué)生明白有三組，總共六組對頂角，那么六條直線相交于一點能分解出幾個基本圖形呢？這實際是一個組合問題，但學(xué)生沒有學(xué)，代數(shù)中以前講過“握手問題”，就是這道題的背景、本質(zhì). 那學(xué)生就容易解決了，ｎ條直線相交于一點，每條直線要和剩下的直線“握手”，有（ｎ － １）次，有ｎ條直線，就有ｎ（ｎ － １）次，但ａ和ｂ握與ｂ和ａ握，兩次算一次，所以基本圖形有■個，對頂角有ｎ（ｎ － １）個. 總之，解完一道題目后，作為我們教師應(yīng)積極地引導(dǎo)學(xué)生進行反思，這道題給的條件究竟有何深意，如何有效地轉(zhuǎn)化為解題“利器 ”，在教材中是否能找到原型，它是怎樣將原題的條件移植、變換得來的，從中能找到怎樣的規(guī)律，多思之后必有收獲.

長期的教學(xué)經(jīng)驗表明，不少學(xué)生在完成作業(yè)或進行大量解題訓(xùn)練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環(huán)節(jié)——解題后的反思. 許多同學(xué)完成作業(yè)后，因?qū)W習(xí)態(tài)度和心理狀態(tài)的不同，或者教師缺少必要的指導(dǎo)和訓(xùn)練，大部分都缺少這一重要環(huán)節(jié)，未能形成良好的解題習(xí)慣. 解題能力和思維品質(zhì)未能在更深和更高層次得到有效提高和升華，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也就只能登堂未能入室. 為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，應(yīng)積極倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進行有效的解題反思.

【參考文獻】

［１］寧建華．基于數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)探析［Ｊ］．陜西：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，２００２（１１）.

［2］高文．學(xué)習(xí)創(chuàng)新與課程教學(xué)改革［Ｊ］．廣州：廣東教育出版社，２００７．

［3］莫雷．教育心理學(xué)［Ｍ］．北京：教育科學(xué)出版社，２００７．

［4］楊之．初等數(shù)學(xué)研究的問題與課題［Ｍ］．長沙：湖南教育出版社，１９９３：１３２.

［5］劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯．［美］喬治·波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［Ｍ］．北京：科學(xué)出版社，２００６：１２７.