三個“一次”之間關系的探究

一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式之間的本質聯(lián)系是它們都是人們刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，用函數(shù)的觀點看方程與不等式，學生不僅能加深對方程、不等式的理解，更能提高認識問題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學的統(tǒng)一美.

蘇科版《數(shù)學》八年級上冊第六章第六節(jié)課題是“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”，本節(jié)課是在學生學習完一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式后對這三個“一次”關系進行的更深層次探究. 這節(jié)課的信息量、內容量大，教材卻避重就輕只孤立列舉了個別例題，缺少對三者邏輯關系的梳理，導致教師處理課堂教學任務異常困難. 這三者是并列關系、主次關系，還是因果關系，抑或是整體與部分的關系？參考教輔用書上的教學目標：

1. 通過具體實例，初步體會一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的內在聯(lián)系.

2. 了解一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式在解決問題過程中的作用和聯(lián)系.

這樣的教學目標根本沒有表明三者的關系，當然也不能為教學的側重點服務，所以很多老師上這一課時云里霧里，不知如何處理教學內容，理清三者的關系. 對學生而言，這三個“一次”關系抽象程度較高，學起來有很大的困難，所以教學時非常有必要給以簡單明了、深入淺出的分析. 以下筆者從自身教學實踐出發(fā)梳理這三者的關系.

一、以一元一次方程和一元一次不等式為基礎工具，解決一次函數(shù)（與ｘ軸的交點坐標，自變量、因變量的取值范圍等）問題

一次函數(shù)是學生在掌握一元一次方程和一元一次不等式之后學習的內容，在一次函數(shù)的章節(jié)里把它和一元一次方程和一元一次不等式放在一起研究，目的還是以一元一次方程和一元一次不等式為工具為解決一次函數(shù)中的各類問題服務.

１. 一元一次不等式與一元一次方程的關系

當ｘ取不同值時，代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０）的值將出現(xiàn)三種情況：ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０，ｋｘ ＋ ｂ ＝ ０和ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０，我們把ｋｘ ＋ ｂ ＝ ０叫作一元一次方程，把ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０，ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０叫作一元一次不等式.

２. 一元一次方程和一次函數(shù)的關系

如果我們用ｙ表示代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０），那么當ｘ取不同值時，代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０）的值隨之發(fā)生變化，也就是ｙ的值發(fā)生變化，這就構成了一次函數(shù). 當函數(shù)值ｙ ＝ ０時，ｋｘ ＋ ｂ ＝ ０，這就得到了一元一次方程的一般形式. 從一次函數(shù)圖像的角度理解，相當于求直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ與ｘ軸交點的橫坐標. 教學時可這樣設計問題串：

問題一：在平面直角坐標系中，畫出ｙ ＝ ｘ ＋ １的函數(shù)圖像，并寫出圖像與ｘ軸交點的坐標.

問題二：除直接觀察圖像（讀圖）外，你還有其他方法求解函數(shù)ｙ ＝ ｘ ＋ １與ｘ軸的交點坐標嗎？（代入求值、列一元一次方程）

問題三：比較兩種方法，歸納一次函數(shù)與一元一次方程的關系.

３. 一元一次不等式和一次函數(shù)的關系

如果我們用ｙ表示代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０），那么當ｘ取不同的值時，代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０）的值隨之發(fā)生變化，也就是ｙ的值發(fā)生了變化，這就構成了一次函數(shù). 當函數(shù)值ｙ ＞ ０時，ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０，函數(shù)值ｙ ＜ ０時，ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０，就得到了一元一次不等式的一般形式. 從一元一次函數(shù)圖像的角度理解，ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０相當于求直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ在ｘ軸上方的所有點的橫坐標；當一次函數(shù)的圖像在ｘ軸的下方時，對應的ｙ ＜ ０．此時，直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ對應點的橫坐標的全體就是一元一次不等式ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０的解集. 教學時，可設計問題串：

問題一：觀察函數(shù)ｙ ＝ ｘ ＋ １的圖像，寫出：（１）ｘ為何值時，ｙ ＞ ０？ （２）ｙ為何值時，ｘ ＜ ０？

問題二：除直接觀察圖像（讀圖）外，你還有其他方法求解問題四嗎？（列一元一次不等式）

問題三：比較兩種方法，歸納一次函數(shù)與一元一次不等式的關系.

在教學時，要理清這三者的關系，通過這樣一串一串的問題，是能達到教師所要的目標的.

二、從函數(shù)圖像上來看，一元一次方程是點，一元一次不等式是射線（或線段，有時缺端點），一次函數(shù)是直線，三者是整體與部分的關系

一次函數(shù)的圖像是連接一次函數(shù)解析式和一次函數(shù)性質的橋梁，它是數(shù)形結合的典范. 一次函數(shù)的圖像是一條直線，這條直線就對應了一個一次函數(shù)的解析式，已知這條直線上某個點坐標的橫坐標（或縱坐標），就能通過一元一次方程計算得到一個點坐標. 而已知自變量（或應變量）的取值范圍，就能通過一元一次不等式得到一條射線（或線段，有時無端點）. 函數(shù)刻畫運動變化規(guī)律，是全過程；方程是刻畫運動變化過程中的某一瞬間；不等式是刻畫變化過程中的同類量之間的大小，是某個片段. 這種關系可以很形象地借用電影來描述，一元一次方程是電影的海報，一元一次不等式是預告片，一次函數(shù)才是一部完整的電影.

三、“數(shù)形結合”，借用函數(shù)圖像，形成“一個中心三個點”，將三個“一次”融合在一起

設計問題：畫出一次函數(shù)ｙ ＝ ２ｘ ＋ ４的圖像，根據圖像說出２ｘ ＋ ４ ＝ ０，２ｘ ＋ ４ ＞ ０，２ｘ ＋ ４ ＜ ０的解. 充分體現(xiàn)“數(shù)形結合”的思想，從方程、一次函數(shù)、不等式等方面進行思考，通過“讀圖”常?？梢詾榻鉀Q有關方程、不等式、函數(shù)性質等問題提供方便；一次函數(shù)的圖像是一條直線，非常直觀，便于從“形”的特征解決一次方程、一元一次不等式問題. “圖像”是一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式三者關系中的主干，從“數(shù)”到“形”是根據函數(shù)畫圖像；從“形”到“數(shù)”就在于“讀圖”，利用圖像解決三個“一次”中的所有問題.

由此看來，一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式是相互依存、相互滲透的一個整體，理清這三個“一次”的關系，就能夠使學生的知識相互交融形成網狀結構，從而達到觸類旁通的效果.