例談有關(guān)整數(shù)點的解決方法

【摘要】 近幾年的中考試卷中出現(xiàn)了一些有關(guān)整數(shù)點的問題，此類題目所涉及的知識面較為廣泛，解題方法也較為特殊，值得一線教師的關(guān)注.

【關(guān)鍵詞】 中考試題；整數(shù)點；規(guī)律探索；應(yīng)用研究

縱觀近幾年的全國中考試卷，出現(xiàn)了一些有關(guān)整數(shù)點或整數(shù)解的問題，此類題目涉及方程、不等式、勾股數(shù)、平面直角坐標(biāo)系、三角形、平行四邊形、相似形、圓等知識，它以探究、綜合的方式命題，主要考查學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，這正是培養(yǎng)學(xué)生“四基”能力的一個具體體現(xiàn)，解題時要細心觀察、分析、作圖，尋找解題規(guī)律，值得廣大的數(shù)學(xué)教育工作者深入研究.

一、用作圖來探究整數(shù)點

例１ （２０１２年北京第１２題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)點的叫作整點．已知點Ａ（０，４），點Ｂ是ｘ正半軸上的整點，記△ＡＯＢ內(nèi)部（不包括邊界）的整數(shù)點個數(shù)為ｍ，當(dāng)m = 3時，點Ｂ的橫坐標(biāo)的所有可能值是；當(dāng)點Ｂ的橫坐標(biāo)為4n（ｎ為正整數(shù)）時，m = ．（用含ｎ的代數(shù)式表示）

如圖1，當(dāng)點Ｂ在（３，０）點或（４，０）點時，△ＡＯＢ內(nèi)部（不包括邊界）的整點有（１，１），（１，２），（２，１），共三個點，所以當(dāng)ｍ ＝ ３時，點Ｂ的橫坐標(biāo)的所有可能值是３或４.

第二小問解法：根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形可得當(dāng)點Ｂ的橫坐標(biāo)為８時，ｎ ＝ ２，此時△ＡＯＢ所在的四邊形內(nèi)部（不包括邊界）每一行的整點個數(shù)為４ × ２ ＋ １ － ２，共有３行，所以此時△ＡＯＢ所在的四邊形內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為（４ × ２ ＋ １ － ２） × ３，因為四邊形內(nèi)部在ＡＢ上的點是３個，所以此時△ＡＯＢ內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為ｍ ＝［（４ × ２ ＋ １ － ２） × ３ － ３］ ÷ ２ ＝ ９.

同理，當(dāng)點Ｂ的橫坐標(biāo)為１２時，ｎ ＝ ３，△ＡＯＢ內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為ｍ ＝［（４ × ３ ＋ １ － ２） × ３ － ３］ ÷ ２ ＝ １５.

所以根據(jù)以上規(guī)律即可得出當(dāng)點Ｂ的橫坐標(biāo)為４ｎ（ｎ為正整數(shù)）時，ｍ ＝ ［（４ × ｎ ＋ １ － ２） × ３ － ３］ ÷ ２ ＝ ６ｎ － ３.

本題是一道圖形操作型規(guī)律探究性問題，考查觀察能力、作圖能力和計算能力，對于此類題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的. 對于本題而言難點就是 Ｂ點的運動位置及運動特點的分析，然后采用圖形操作及驗證法判斷符合要求的整點個數(shù)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)部分整點個數(shù)變化規(guī)律，但是如何用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是本題最大的難點.

二、用特殊點來探究整數(shù)點

例２ （２０１１年山東東營第１２題）如圖2，直線y = ■x + ■與ｘ軸、ｙ軸分別相交于Ａ，Ｂ兩點，圓心Ｐ的坐標(biāo)為（１，０），圓Ｐ與ｙ軸相切于點Ｏ． 若將圓Ｐ沿ｘ軸向左移動，當(dāng)圓Ｐ與該直線相交時，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點Ｐ的個數(shù)是 （）.

Ａ. ２Ｂ. ３Ｃ. ４Ｄ. ５

根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點，得出Ａ，Ｂ的坐標(biāo)，再利用三角形相似得出圓與直線相切時的坐標(biāo)，進而得出相交時的坐標(biāo)．∵直線y = ■x + ■與ｘ軸、ｙ軸分別相交于Ａ，Ｂ兩點，圓心Ｐ的坐標(biāo)為（１，０），∴ Ａ點的坐標(biāo)為（-３，０），Ｂ點的坐標(biāo)為（０，■），∴ ＡＢ ＝ ２■. 將圓Ｐ沿ｘ軸向左移動，當(dāng)圓Ｐ與該直線相切于Ｃ１時，Ｐ１Ｃ１ ＝ １，根據(jù)△ＡＰ１Ｃ１∽△ＡＢＯ，∴ ■ ＝ ■ ＝ ■，∴ ＡＰ１ ＝ ２，∴ Ｐ１的坐標(biāo)為（-１，０）. 將圓Ｐ沿ｘ軸向左移動，當(dāng)圓Ｐ與該直線相切于Ｃ２時，Ｐ２Ｃ２ ＝ １，根據(jù)△ＡＰ２Ｃ２∽△ＡＢＯ，∴ ■ ＝ ■ ＝ ■，∴ ＡＰ２ ＝ ２，Ｐ２的坐標(biāo)為（-５，０）. 從-１到-５，整數(shù)點有-２，-３，-４，故橫坐標(biāo)為整數(shù)的點Ｐ的個數(shù)是３個．

此題主要考查了直線與坐標(biāo)軸的求法，以及相似三角形的判定，題目綜合性較強，注意特殊點的求法是解決問題的關(guān)鍵．

三、用數(shù)形結(jié)合探究整數(shù)點

例３ （２００９福州第１５題）已知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ是反比例函數(shù)ｙ ＝ ■（ｘ ＞ ０）圖像上五個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖4所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是. （用含π的代數(shù)式表示）

解法：由圖易知，五個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的坐標(biāo)分別為：Ａ（１，１６），Ｂ（２，８），Ｃ（４，４），Ｄ（８，２），Ｅ（１６，１），所以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ形成的正方形的邊長分別為１，２，４，２，１，以Ａ點為例，正方形邊長為１，所以：Ａ 橄欖形的面積＝２倍半橄欖形的面積（沿對角線切成２個） ＝ ２ × （■圓的面積 － ■正方形面積） ＝ ２（π × ■ － ■ × １ × １） ＝ ■ － １.

同理得：Ｂ橄欖形的面積為２π － ４，Ｃ橄欖形的面積為８π － １６，Ｄ橄欖形的面積為２π － ４，Ｅ橄欖形的面積為■ － １.

所以總面積為１３π － ２６.

本題考查的是反比例函數(shù)和圓的有關(guān)計算．首先根據(jù)能夠整除１６的正整數(shù)，求出圖像上的５個整數(shù)點分別為（１，１６），（２，８），（４，４），（８，２），（１６，１），其次利用扇形面積公式求弓形面積，即每個橄欖形面積的一半．當(dāng)點Ｐ位于點（４，４）時，Ｓ橄欖形 ＝ ２ × （Ｓ扇 － Ｓ等腰直角三角形） ＝ ８π － １６，其余四個計算方法同上．它們的面積從左到右分別為■ － １，２π － ４， ２π － ４，■ － １．所以橄欖形面積總和為１３π － ２６． 本題容易出錯的地方是在不理解什么是整數(shù)點的情況下無法求出Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五點的整數(shù)點坐標(biāo)，這也就是本題的難點所在．

四、 用合情推理來探究整數(shù)點

例４ （２０１３年蘇州第２９題）如圖，已知拋物線ｙ ＝ ■ ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ｂ，ｃ是常數(shù)，且ｃ ＜ ０）與ｘ軸分別交于點Ａ，Ｂ（點Ａ位于點Ｂ的左側(cè)），與ｙ軸的負半軸交于點Ｃ，點Ａ的坐標(biāo)為（－１，０）．

（１）ｂ ＝，點Ｂ的橫坐標(biāo)為.

（上述結(jié)果均用含ｃ的代數(shù)式表示）

（２）連接ＢＣ，過點Ａ作直線ＡＥ∥ＢＣ，與拋物線ｙ ＝ ■ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ交于點Ｅ． 點Ｄ是ｘ軸上一點，其坐標(biāo)為（２，０）. 當(dāng)Ｃ，Ｄ，Ｅ三點在同一直線上時，求拋物線的解析式.

（３）在（２）的條件下，點Ｐ是ｘ軸下方的拋物線上的一動點，連接ＰＢ，ＰＣ，設(shè)所得△ＰＢＣ的面積為Ｓ．

① 求Ｓ的取值范圍；

② 若△ＰＢＣ的面積Ｓ為整數(shù)，則這樣的△ＰＢＣ共有多少個？

分析 （１）將Ａ（-１，０）代入ｙ ＝ ■ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，可以得出ｂ ＝ ■ ＋ ｃ. 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出-１·ｘＢ ＝ ■，即ｘＢ ＝ -２ｃ.

（２）由ｙ ＝ ■ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，求出此拋物線與ｙ軸的交點Ｃ的坐標(biāo)為（０，ｃ），則可設(shè)直線ＢＣ的解析式為ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｃ，將Ｂ點坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法求出直線ＢＣ的解析式為ｙ ＝ ■ｘ ＋ ｃ；由ＡＥ∥ＢＣ，設(shè)直線ＡＥ得到解析式為ｙ ＝ ■ｘ ＋ ｍ，將點Ａ的坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法求出直線ＡＥ的解析式為ｙ ＝ ■ｘ ＋ ■. 解方程組y = ■x2 + ■ + cx + c，y = ■x + ■，求出點Ｅ坐標(biāo)為（１ - ２ｃ，１ - ｃ），將點Ｅ坐標(biāo)代入直線ＣＤ的解析式ｙ ＝ -■ｘ ＋ ｃ，求出ｃ ＝ -２，進而得到拋物線的解析式為ｙ ＝ ■ｘ２ - ■ｘ - ２.

（３）① 分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當(dāng)-１ ＜ ｘ ＜ ０時，由０ ＜ Ｓ ＜ Ｓ△ＡＣＢ，易求０ ＜ Ｓ ＜ ５；（Ⅱ）當(dāng)０ ＜ ｘ ＜ ４時，過點Ｐ作ＰＧ⊥ｘ軸于點Ｇ，交ＣＢ于點Ｆ．設(shè)點Ｐ坐標(biāo)為ｘ，■ｘ２ - ■ｘ - ２，則點Ｆ坐標(biāo)為ｘ，■ｘ - ２，ＰＦ ＝ ＰＧ - ＧＦ ＝ -■ｘ２ ＋ ２ｘ，Ｓ ＝ ■ＰＦ·ＯＢ ＝ -ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ -（ｘ - ２）２ ＋ ４，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出Ｓ最大值 ＝ ４，即０ ＜ Ｓ ≤ ４，則０ ＜ Ｓ ＜ ５.

② 由０ ＜ Ｓ ＜ ５，Ｓ為整數(shù)，得出Ｓ ＝ １，２，３，４．分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當(dāng)-１ ＜ ｘ ＜ ０時，根據(jù)△ＰＢＣ中ＢＣ邊上的高ｈ小于△ＡＢＣ中ＢＣ邊上的高ＡＣ ＝ ■，得出滿足條件的△ＰＢＣ共有４個；（Ⅱ）當(dāng)０ ＜ ｘ ＜ ４時，由于Ｓ ＝ -ｘ２ ＋ ４ｘ，根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的△ＰＢＣ共有７個，則滿足條件的△ＰＢＣ共有４ ＋ ７ ＝ １１（個）．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和歸納能力．

以上題目都是以幾何、代數(shù)為背景的，所有情景融方程、不等式、勾股數(shù)、平面直角坐標(biāo)系、三角形、平行四邊形、相似形、圓、旋轉(zhuǎn)、作圖、計算等方面的知識，主要考查學(xué)生的觀察能力、轉(zhuǎn)換能力、建模能力及運算能力. 讓學(xué)生在實際操作中知道求整點的方法，進一步發(fā)展學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，形成數(shù)感的意識，融知識性、科學(xué)性、趣味性于一體，對激發(fā)學(xué)生求知熱情，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神非常有益. 從過程來說是考查學(xué)生能否善于變形應(yīng)用，體現(xiàn)了新課標(biāo)的基本理念，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是行之有效的. 在求整點的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)，在實踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂變?yōu)閷W(xué)生自主探索、自主發(fā)展的天地，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的樂趣和力量，同時教師還要注重培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力，這樣才能在“拓新多變中固本，反思中求源”，達到鞏固和提高的和諧統(tǒng)一.