培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

【摘要】 合情推理與演繹推理是中學(xué)數(shù)學(xué)推理的兩種形式，二者關(guān)系密切，運(yùn)用合情推理要有針對(duì)性，注意避免其帶來(lái)的負(fù)遷移，要重視對(duì)猜想結(jié)果的檢驗(yàn)和證明.

【關(guān)鍵詞】 中學(xué)數(shù)學(xué)；合情推理；推理能力

著名的數(shù)學(xué)家、教育家波利亞通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思維規(guī)律的研究發(fā)現(xiàn)，在一般的科學(xué)思維中，除“證明推理”（即演繹推理）以外，還有另一種推理——合情推理，主要表現(xiàn)形式是歸納、類比. 數(shù)學(xué)不僅僅含有嚴(yán)謹(jǐn)證明和確定性結(jié)果，在數(shù)學(xué)研究中，觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、假設(shè)、猜測(cè)等方法同樣起了重要作用. 相對(duì)于演繹推理，合情推理算是一個(gè)“新興事物”，因此，在培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn).

一、理清合情推理和演繹推理的關(guān)系

作為數(shù)學(xué)推理的兩種形式，合情推理和演繹推理是相輔相成的，不能割裂開(kāi)來(lái). 合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算. 首先，合情推理的主要思維形式類比和歸納依托的是經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，這里的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該是由演繹推理證明或計(jì)算得出的正確的經(jīng)驗(yàn)，直覺(jué)也應(yīng)是有依據(jù)的直覺(jué)，如果僅僅從觀察到的事實(shí)隨便猜測(cè)結(jié)論，這樣推得的結(jié)論毫無(wú)意義. 其次，合情推理得到的結(jié)論需要用演繹推理的方式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明，否則，不能將此結(jié)論進(jìn)行推廣. 第三，演繹推理所用到的某些定義、定理可以通過(guò)合情推理的方式由學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通過(guò)觀察、類比、歸納、猜測(cè)、證明得到了定理，不僅學(xué)到了知識(shí)，而且從學(xué)習(xí)中獲得了快樂(lè). 但是，如果在推理教學(xué)中，忽略了兩種推理間的密切關(guān)系，將二者分開(kāi)教學(xué)，甚至僅僅為了練習(xí)考試中找規(guī)律題目而學(xué)習(xí)合情推理，學(xué)生就不能理解這兩種推理形式在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，更不能將這種大膽猜想、小心求證的思維習(xí)慣運(yùn)用到學(xué)習(xí)和生活中，更何談創(chuàng)新能力的發(fā)展. 因此，教師要有意識(shí)地提醒學(xué)生，兩種推理是相輔相成的，合情推理用于探索思路，演繹推理用于證明結(jié)論；由合情推理得出的結(jié)論一定要證明其正確性，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待特殊與一般、部分與整體的辯證思維.

二、避免合情推理對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)遷移

負(fù)遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的阻礙作用，如學(xué)習(xí)拼音對(duì)學(xué)習(xí)英語(yǔ)的干擾等. 發(fā)生負(fù)遷移，是因?yàn)閮煞N知識(shí)有很大的相似之處. 合情推理中的類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频耐评? 例如，由有理數(shù)的加減運(yùn)算推測(cè)整式的加減運(yùn)算，由分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)和計(jì)算推測(cè)分式的化簡(jiǎn)和計(jì)算. 類比推理是引入新數(shù)學(xué)概念或法則的一種有效工具，用舊知識(shí)類比得出新知識(shí)，比單純地介紹新知識(shí)能夠使學(xué)生更容易理解. 但是，類比推理有可能產(chǎn)生學(xué)習(xí)的負(fù)遷移. 例如，一元一次不等式和一元一次方程的形式特別相似，只有不等號(hào)和等號(hào)的差別. 但是，在引入一元一次不等式的解法時(shí)，若用一元一次方程的解法來(lái)類比，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，前兩步是相同的，但是到第三步時(shí)，學(xué)生就會(huì)忘記根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)來(lái)決定不等號(hào)的方向，這就是解一元一次方程帶來(lái)的負(fù)遷移. 因此，并不是所有的相似概念都可以經(jīng)過(guò)類比推理得出，應(yīng)該根據(jù)具體知識(shí)具體對(duì)待，不能亂用和濫用類比推理.

三、合情推理切忌“想當(dāng)然”

合情推理首先要觀察已有的事實(shí)，再經(jīng)過(guò)歸納和類比從中發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，最終得出結(jié)論. 得出規(guī)律的過(guò)程中要求學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)、考慮全面，否則，就會(huì)出現(xiàn)“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤. 例如下面一道題：

已知點(diǎn)Ｏ到△ＡＢＣ的兩邊ＡＢ，ＡＣ所在直線的距離相等，且ＯＢ ＝ ＯＣ．

（1）如圖１，若點(diǎn)Ｏ在邊ＢＣ上，求證：ＡＢ ＝ ＡＣ；

（2）如圖２，若點(diǎn)Ｏ在△ＡＢＣ的內(nèi)部，求證：ＡＢ ＝ ＡＣ；

（3）若點(diǎn)Ｏ在△ＡＢＣ的外部，ＡＢ ＝ ＡＣ成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示.

此題考查了三角形的全等，前兩小題比較容易，只需作點(diǎn)Ｏ到邊ＡＢ，ＡＣ的垂線，再證明三角形全等即可. 第三小題是探究題，點(diǎn)Ｏ在三角形內(nèi)和三角形上時(shí)，ＡＢ ＝ ＡＣ都成立，那么最后一種情況，在三角形外是否也成立呢？根據(jù)學(xué)生做題經(jīng)驗(yàn)，這種題目往往都是成立的，就不假思索地回答了成立. 事實(shí)上，若點(diǎn)Ｏ在△ＡＢＣ的外部，ＡＢ ＝ ＡＣ不一定成立，如圖３，作一個(gè)任意三角形ＡＢＣ，作∠A的角平分線和ＢＣ的中垂線，交于點(diǎn)Ｏ，這樣點(diǎn)Ｏ到△ＡＢＣ的兩邊ＡＢ，ＡＣ所在直線的距離相等，且ＯＢ ＝ ＯＣ，但ＡＢ ≠ ＡＣ.

合情推理雖然是探索思路的好方法，但如果推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，只考慮表面現(xiàn)象，想當(dāng)然地認(rèn)為結(jié)論成立，就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，也違背了數(shù)學(xué)求真務(wù)實(shí)的精神. 另外，得出結(jié)論如果不檢驗(yàn)和證明也容易犯錯(cuò)誤. 例如，比較20132014和20142013的大小，先從簡(jiǎn)單情況入手，12 < 21，23 < 32…有的學(xué)生看到前兩個(gè)都是小于，就認(rèn)定20132014也小于20142013. 但如果再寫(xiě)幾組就會(huì)發(fā)現(xiàn)：３４ ＞ ４３，４５ ＞ ５４，５６ ＞ ６５…即當(dāng)ｎ ≥ ３時(shí)，ｎｎ ＋ １ ＞ （ｎ ＋ １）n. 可見(jiàn)，在尋求規(guī)律的過(guò)程中，大膽猜測(cè)是建立在盡量多的數(shù)據(jù)上的，而不是由個(gè)別的現(xiàn)象加上天馬行空的想象得來(lái)的，得出結(jié)論后要加以檢驗(yàn)和證明.

合情推理為我們提供了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的方式，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力，也就是培養(yǎng)學(xué)生善于觀察思考、勇于創(chuàng)新的能力. 教師應(yīng)該在教學(xué)中適當(dāng)?shù)貞?yīng)用合情推理，并且注重對(duì)結(jié)論的演繹證明，下意識(shí)地提醒學(xué)生合情推理和演繹推理相輔相成的關(guān)系，學(xué)會(huì)善于觀察、大膽猜想和小心求證的思維方式.