放大配方 拉伸過程

【摘要】 學(xué)生學(xué)習(xí)與應(yīng)用配方法有障礙，教師需要進行分析與思考，組織學(xué)生拉伸配方過程，放大、放慢配方步調(diào)，領(lǐng)悟其本質(zhì)與屬性，提升學(xué)生的學(xué)力.

【關(guān)鍵詞】 配方法；教材編排；教學(xué)處理

配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在新人教版九年級數(shù)學(xué)上冊中最先出現(xiàn)；它是一種恒等變形，背后隱含了豐富的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生學(xué)習(xí)它有障礙、影響大，值得教師分析與思考. 一、配方法的編排與分析

新人教版九年級數(shù)學(xué)主要呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法是配方法. 它出現(xiàn)的背景是合理的，分為兩個階段：

1. 背景、描述性概念與應(yīng)用

上冊，學(xué)完利用平方根降次解一元二次方程后，配方法在教材的Ｐ３０－３４通過一系列的安排，最終以帶描述性的概念形式出現(xiàn)——先思考“設(shè)法把ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０化為具有（ｘ ＋ ｎ） ２ ＝ ｐ或（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ ≥ ０）的形式”；接著通過直觀、程序化的思維“框圖”（移常數(shù)項→配方→改寫→降次→求解）引領(lǐng)學(xué)生利用配方（使左邊配成ｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｂ２形式）降次求根；然后思考：“為什么要在方程ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０兩邊加９？加其他數(shù)行嗎？”最后歸納：“像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法. ”之后是舉例與練習(xí).

2. 在二次函數(shù)中的再應(yīng)用

下冊Ｐ１１－１２，配方法的再應(yīng)用以跨越式出現(xiàn)——先思考“我們知道，像ｙ ＝ ａ（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ這樣的函數(shù)，容易確定相應(yīng)拋物線的頂點為（ｈ，ｋ），二次函數(shù)ｙ ＝ ■ｘ２ － ６ｘ ＋ ２１也能化成這樣的形式嗎？”接著省略配方過程，“配方可得：ｙ ＝ ■（ｘ － ６）２ ＋ ３”；然后歸納：“一般地，我們可以用配方法求拋物線ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的頂點與對稱軸. ”最后是相關(guān)練習(xí).

可見，教材以降次解方程為主線，以程序化、規(guī)范化的解答模式為母體重點介紹配方法解方程，對學(xué)習(xí)解方程無疑具有最明了的示范作用；對于用配方法求拋物線的頂點以及推導(dǎo)頂點坐標公式，教材刻意省略. 這種編排具有很強的主體性、拓展性.

就解方程而言，學(xué)生有教材中的框圖模仿，解類似ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０或ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程不難學(xué)；就推導(dǎo)二次函數(shù)的頂點公式而言就難了. 因為配方法不只是用來解方程，它用在求拋物線的頂點與最值時的思路、步驟、程序與解方程有明顯的差別，學(xué)生找不到相應(yīng)的配方過程或框圖作參考，一頭霧水. 說明解方程時設(shè)定的思維框圖和程序化的步驟容易掩蓋配方的本質(zhì)、淡化配方的重點，學(xué)生的配方方法與思路受束于起初的、程序化的、解方程的步驟. 這種編排也有一定的斷裂性、局限性.

二、學(xué)生學(xué)習(xí)配方法的狀況

１. 學(xué)生解形如ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的一元二次方程，容易習(xí)慣性地移項后就直接配方（沒有先將二次項系數(shù)化為１）或二次項系數(shù)化為１時漏除常數(shù)項.

２. 學(xué)生解形如（ａｘ）２ ＋ ２ａｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程，往往仍然按移項、二次項系數(shù)化為１、配方等程序進行（學(xué)生對那種解答程序的記憶太深）.

３. 學(xué)生解決形如（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ < ０）的方程，錯解為ｍｘ ＋ ｎ ＝±■；很難進行求根公式的推導(dǎo)，容易錯把■等成２ａ.

４. 配方法求最值或推導(dǎo)拋物線的頂點坐標公式，思維和表達方式混亂.

５. 其他的配方恒等變形，配方的綜合能力弱.

三、配方法的教學(xué)處理

其實，配方的核心是從不是完全平方的代數(shù)式或等式的一邊中，選定要配的對象（要有兩個），通過恒等變形，把其中的某些項配成一個或幾個完全平方式；配方的原則是維持數(shù)式的恒等（代數(shù)式不存在移項或兩邊加配問題）. 為此，教師除了要引導(dǎo)學(xué)生利用完全平方與二次根式的非負性等功能規(guī)避配方法解方程過程中的錯誤外，更需要根據(jù)教材編排，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計，組織學(xué)生拉伸配方學(xué)習(xí)的過程，放大配方的切入點，放慢配方思維的步調(diào)，使之領(lǐng)悟配方的思路，突破配方的重點，理清配方的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思維.

處理方式一：通過置換系數(shù)、改變形態(tài)，從特殊到一般去理解配方. 例如設(shè)計帶梯度的組題：①ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０；② ｘ２ － ｂｘ ＝ ４；③ ２ｘ２ － ２ ＝ ３ｘ；④ ３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ；⑤ ａｘ２ － ｂｘ ＋ ４ ＝ ０……實現(xiàn)從單一的數(shù)字系數(shù)逐步過渡到字母系數(shù)的置換，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟配方的過程與核心，走出程序化的困擾——解決配方應(yīng)用在解方程的難點問題.

處理方式二：以方程的一邊的恒等變形為抓手，改換解題的思路與程序，換種形式來配方. 例如從方程的左邊看，ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０可以變形為（ｘ ＋ ４）２ － １６ － １ ＝ ０；３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ可以變形為３ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■ ＝ ｃ……引導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)一方程中的變形程序與二次多項式的變形程序，超脫解方程的配方框圖——解決配方的過程與形式問題.

處理方式三：以配方的對象作為切入點，多層次、多角度地拓展配方學(xué)習(xí). 如對于任意的ａ，ｂ，當(dāng)ａ２ ＋ ｂ２用（ａ ＋ ｂ）２ － ２ａｂ配方，當(dāng)ａｘ２ ＋ ｂｘ用ａｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■配方——解決配方的本質(zhì)與思路問題.

處理方式四：列舉配方法在初中數(shù)學(xué)的其他應(yīng)用. 如：①判斷關(guān)于ｘ的一元二次方程（ｋ － １）ｘ２ － ２ｋｘ ＋ ３ ＝ ０的根的情況；②求證：無論ｘ，ｙ取任何實數(shù)，多項式ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｘ － ４ｙ ＋ １６總是正數(shù)；③已知實數(shù)ｘ，ｙ滿足ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０，求ｘ ＋ ｙ的最大值等——解決配方用途與蘊含的數(shù)學(xué)思想問題.

總之，新課標下的教學(xué)，教師不但要“吃”透教材，還要分析學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，更要創(chuàng)造性地設(shè)計好數(shù)學(xué)的感知、理解、思考與拓展過程，通過放大、拉伸、放慢等處理方式，“延伸知識的發(fā)現(xiàn)與領(lǐng)悟的鏈條，實現(xiàn)知識的有效內(nèi)化，達到綠色的教學(xué)追求，發(fā)展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的學(xué)力”.