有理數(shù)的運(yùn)算技巧歸納

【摘要】 運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分，也可以說是數(shù)學(xué)的一大特色. 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有關(guān)于數(shù)的知識點(diǎn)，最大的一個(gè)變化就是引入了有理數(shù)，有關(guān)有理數(shù)的運(yùn)算也變得更加豐富多彩，數(shù)從正數(shù)和零擴(kuò)展到了負(fù)數(shù)，在運(yùn)算上的種類也更加多，計(jì)算也變得更加復(fù)雜. 因此，學(xué)生們在進(jìn)行相關(guān)的有理數(shù)運(yùn)算的時(shí)候，要學(xué)會(huì)歸納和總結(jié)，善于提取經(jīng)驗(yàn)和方法，把復(fù)雜的運(yùn)算簡單化.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；有理數(shù)的運(yùn)算；運(yùn)算方法

有理數(shù)的運(yùn)算可以說是初中階段最基礎(chǔ)的一種運(yùn)算，是必須要過關(guān)的. 剛升入初中的學(xué)生對代數(shù)的認(rèn)識還是比較有限的，由于舊知識及舊思維習(xí)慣的影響，使很多學(xué)生在接觸有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，總是會(huì)覺得很難適應(yīng)，在計(jì)算時(shí)也常常會(huì)出錯(cuò). 本文將以一些典型例題來談?wù)勗谟欣頂?shù)的運(yùn)算中常用的一些有效的運(yùn)算方法和技巧. 特別是在初中階段，計(jì)算題的考查更重要的一個(gè)方面是考查學(xué)生們的思維習(xí)慣、計(jì)算的方法和技巧，而不是讓學(xué)生們機(jī)械地進(jìn)行一些復(fù)雜的計(jì)算. 因此，總結(jié)和學(xué)習(xí)一些實(shí)用的運(yùn)算技巧也是非常有必要的.

一、湊整法

湊整是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最基礎(chǔ)的一種簡便運(yùn)算方式，在小學(xué)階段就有過接觸. 湊整法的目的就是把一個(gè)算式中能夠湊成整十或整百的數(shù)先湊到一起進(jìn)行運(yùn)算，也可以通過引入數(shù)字，對原式中的數(shù)進(jìn)行湊整，從數(shù)字上簡化運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)快速且準(zhǔn)確的計(jì)算.

例１計(jì)算89 + 899 + 899 + 89999 + 899999.

解析 原式 ＝ 90 - 1 + 900 - 1 + 9000 - 1 + 90000 - 1 + 900000 - 1 + 999990 - 5 = 999985.

點(diǎn)評 當(dāng)式子中的數(shù)接近某個(gè)整十或整百數(shù)時(shí)，湊整法是最先要考慮的，如題中，通過湊整的方式實(shí)現(xiàn)了口算，快速且準(zhǔn)確.

二、分解法

分解法主要就是根據(jù)需要對某些數(shù)或式子進(jìn)行分解，從而簡化運(yùn)算.

例２ 57 × ■ + 27 × ■.

解析 原式中不能進(jìn)行約分，可以在整數(shù)部分構(gòu)造出一個(gè)與分母相同的數(shù)來簡化運(yùn)算．

原式 ＝ （５６ ＋ １） × ■ ＋ （２８ － １） × ■ ＝ （５５ ＋ ２７） + ■ - ■ = 28■.

點(diǎn)評 通過拆分的方法把數(shù)字拆成與分母相關(guān)的數(shù)，在計(jì)算中就可以進(jìn)行約分，從而讓計(jì)算變得更加簡單.

三、結(jié)合法

結(jié)合法就是把能進(jìn)行簡單運(yùn)算的數(shù)結(jié)合到一起，比如說同分母的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，就可以免去通分，直接進(jìn)行計(jì)算.

例３ ■ + ■ + … + ■ + ■ +

■ + ■ + … + ■ + ■ + … + ■ + ■ + ■.

解析 原式 ＝ ■ + ■ + ■ + … + ■ + ■ + ■ ＝ ８８５.

點(diǎn)評 關(guān)于分?jǐn)?shù)的加減，最好的方法就是免去通分，直接加減，而在分?jǐn)?shù)的乘除法中，最好的方法就是能夠約分. 這是兩種簡化分?jǐn)?shù)運(yùn)算的常用方法.

四、裂項(xiàng)法

裂項(xiàng)法一般就是把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩項(xiàng)相加或相減，在前后項(xiàng)的連續(xù)運(yùn)算中進(jìn)行抵消，最后轉(zhuǎn)化成為簡單的運(yùn)算.

例４ 計(jì)算■ + ■ + ■ + ■.

解析 原式 ＝ ■ + ■ + ■ + ■

＝1 - ■ + ■ - ■ + ■ - ■ + ■ - ■

＝1 - ■ = ■

點(diǎn)評 通過裂項(xiàng)，把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，與前后的項(xiàng)互相抵消，運(yùn)算就簡單了，這是一種很典型的計(jì)算題，方法和思路也是比較固定的，一般是先將原式中分母拆分為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積.

五、巧用公式

在初中階段的計(jì)算中，常會(huì)用到平方差或完全平方公式對算式進(jìn)行變形計(jì)算，公式比較簡單，但要能夠靈活運(yùn)用還是需要一定的技巧的.

例５ 計(jì)算（１ ＋ ２）（１ ＋ ２２）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８）.

解析 因?yàn)椋保?２ － １.

所以，原式 ＝ （２ － １）（２ ＋ １）（１ ＋ ２２）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８） ＝ （２２ － １）（１ ＋ ２２）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８） ＝ （２４ － １）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８） ＝ （２８ － １）（１ ＋ ２８） ＝ ２１６ － １.

點(diǎn)評 公式的靈活運(yùn)用，首先要明確使用公式的算式中的一些特征，看到題目中出現(xiàn)了平方，我們就要想到有關(guān)平方的一些公式，而“１”是比較特殊的，可以寫成12，像這樣的一些分析方法和解題技巧是需要平時(shí)積累的.

六、換元法

換元法不一定就是在解方程組中使用，在一些算式中，如果總是出現(xiàn)某個(gè)相同的代數(shù)式，并且這個(gè)代數(shù)式還比較復(fù)雜，那就可以考慮使用換元法先將算式化簡，再進(jìn)行計(jì)算.

例６ 計(jì)算■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ×

■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■－

■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ + ■ ×

■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■.

解析 設(shè)■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＝ ａ，■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＝ ｂ，那么ａ － ｂ ＝ ■.

原式 ＝ ａｂ ＋ ■ － ａ ＋ ■ｂ ＝ ａｂ ＋ ■ａ － ａｂ － ■ｂ ＝ ■（ａ － ｂ） ＝ ■.

點(diǎn)評 像這種題目，如果按照正常的計(jì)算方法，肯定是很難的，計(jì)算量相當(dāng)大，而通過換元法，把算式先化簡之后再計(jì)算，就簡單了很多. 這種類型的題目特征也很明顯，就是相對復(fù)雜的代數(shù)式重復(fù)出現(xiàn)，代數(shù)式之間存在著某種關(guān)聯(lián)，這樣就可以用假設(shè)的方式用字母代替這個(gè)代數(shù)式再進(jìn)行化簡運(yùn)算.

七、乘方的巧算

乘方是初中階段學(xué)習(xí)的又一種運(yùn)算方式，在乘方運(yùn)算中，如果指數(shù)特別大，是很難算的，而乘方的運(yùn)算同樣也可以通過巧妙的方法來簡化計(jì)算．

例７ 計(jì)算（－０．１２５）12 × -1■7 × （-8）13 × -■9.

解析原式＝ -0.12512 × ■7 × 813 × ■9 = -（0.125 × 8）12 × ■ × ■7 × 8 × ■2 = -1 × 1 × 8 × ■ = -2■.

點(diǎn)評 這道題目中是通過把指數(shù)不同的式子轉(zhuǎn)化成為指數(shù)相同的算式，再通過積的乘方公式把相應(yīng)的算式合并起來，簡化計(jì)算.

綜上所述，有理數(shù)的運(yùn)算題型是多種多樣的，在解題時(shí)要先觀察算式中的數(shù)字和算式結(jié)構(gòu)，結(jié)合算式的特征選定適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算. 這樣不僅能提高計(jì)算的正確率，還能節(jié)省時(shí)間. 因此，在平時(shí)的練習(xí)中要善于總結(jié)和反思，歸納出一套有效的解題方法，提高計(jì)算及解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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［３］孫桂紅．有理數(shù)乘除運(yùn)算有技巧．初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)：初一版，２０１３（9）.