基于Matlab的曲線擬合方法研究

一、引言

在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中，常常需要根據(jù)實(shí)際測試所得到的一系列數(shù)據(jù)，求出它們的函數(shù)關(guān)系。使得找出的近似函數(shù)曲線能夠充分反映實(shí)際測試量之間的關(guān)系，這就是曲線擬合。曲線擬合技術(shù)在圖像處理、逆向工程、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)以及測試數(shù)據(jù)的處理顯示及故障模式診斷等領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用[1]。本文分別采用矩陣法和三次樣條函數(shù)法，以氣體傳感器數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線擬合過程為例，詳細(xì)介紹了這兩種方法的應(yīng)用過程，經(jīng)比較分析，三次樣條函數(shù)法能達(dá)到很好的擬合效果。

二、曲線擬合原理

（一）矩陣法曲線擬合原理

在實(shí)際計(jì)算中，通過對偏差的平方和每個(gè)系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，使偏導(dǎo)數(shù)為零來建立方程組，通過矩陣運(yùn)算得到系數(shù)公式，然后求得系數(shù)。從而實(shí)現(xiàn)曲線擬合的方法就叫矩陣法[3]。

矩陣運(yùn)算的引入：設(shè)f（xi）=（i=1，2，…n）。其中Cij由xi計(jì)算得到。則

（二）三次樣條曲線擬合原理

在三次樣條函數(shù)曲線中，兩斷點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）之間的曲線段是由一個(gè)三次多項(xiàng)式擬合而成，而整個(gè)樣條曲線是由一段一段的三次多項(xiàng)式曲線構(gòu)成，每段三次多項(xiàng)式的系數(shù)不同[2]。

設(shè)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)列Pi（xi，yi），i=0～n，樣條函數(shù)S（x）在x=xi節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)、二階

導(dǎo)數(shù)分別為：

三、曲線擬合方法應(yīng)用

根據(jù)以上分析，本文對納米氣體傳感器的靈敏度一溫度曲線進(jìn)行擬合。以SnO2為基礎(chǔ)材料制備的氣敏元件是目前應(yīng)用范圍最廣的一種元件，具有許多優(yōu)點(diǎn)。將摻雜了不同濃度的苯的SnO2納米氣體傳感器置于相同的氣體濃度、壓力試驗(yàn)條件下，改變試驗(yàn)溫度，每隔一定溫度采集一次傳感器的輸出數(shù)據(jù)。表1給出了在190℃～480℃下，摻雜某一濃度苯的納米氣體傳感器的靈敏度一溫度對應(yīng)關(guān)系，溫度間隔為10℃[4]。

測出一系列靈敏度一溫度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用Matlab軟件作為工具運(yùn)用矩陣法和三次樣條函數(shù)法進(jìn)行曲線擬合.

四、矩陣法曲線擬合

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，氣體傳感器的輸出特性曲線中間部分線性關(guān)系比較好，兩端呈非線性，故選取中間部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（260℃～400℃）進(jìn)行曲線擬合，其中間隔20℃取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，則可取數(shù)學(xué)公式為y=kx+b，其中k，b為待求系數(shù)

通過實(shí)驗(yàn)得知矩陣法曲線擬合的優(yōu)點(diǎn)是：在整個(gè)計(jì)算過程中簡單明了，方便快捷，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)即可通過矩陣的簡單運(yùn)算直接算出與其相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。使曲線擬合變得十分容易，在計(jì)算機(jī)程序中整齊化一，而不必為不同的函數(shù)關(guān)系編制不同的程序段。缺點(diǎn)是：多適用于對線性關(guān)系的曲線擬合，若對非線性關(guān)系擬合，則出現(xiàn)較大誤差。三次樣條函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是：更適用于非線性的曲線擬合，樣條函數(shù)是光滑連接的分段多項(xiàng)式，兩節(jié)點(diǎn)（斷點(diǎn)） 之間的曲線是由一段一段的三次多項(xiàng)式構(gòu)成，且各段多項(xiàng)式具有不同的系數(shù)。其構(gòu)造特點(diǎn)之一是節(jié)點(diǎn)一定在曲線上，它具有很強(qiáng)的適應(yīng)數(shù)據(jù)微小變化的能力、插值靈活和最佳逼近等優(yōu)良特性，因而曲線整體光滑性較好曲線擬合精度高。三次樣條函數(shù)曲線擬合的相對誤差在（-0.2﹪，+0.3﹪）內(nèi)。由于相鄰節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，因而整條曲線十分光滑；擬合效果明顯好于矩陣法。