如何講解直線與圓位置關(guān)系

【摘 要】我覺得在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，既要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，更要強(qiáng)調(diào)教師的主導(dǎo)地位，所以盡量恰當(dāng)?shù)睦枚嗝襟w課件并采用“啟發(fā)式”問題教學(xué)法，科學(xué)地教會(huì)學(xué)生清晰的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟Ｊ健?/p>

【關(guān)鍵詞】直線與圓 位置關(guān)系

一、巧妙提問題，創(chuàng)情景引入

問題1“輪船的航線和臺(tái)風(fēng)的問題”

問題2直線與圓有哪些位置關(guān)系？請學(xué)生例舉生活中具有直線與圓位置關(guān)系的事物。

問題3從“形”上來看，可以用哪些數(shù)學(xué)量來判斷直線與圓的位置關(guān)系？

問題4三種位置關(guān)系下，直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分別在發(fā)生哪些改變？

問題5我們現(xiàn)在已學(xué)習(xí)了直線的方程和圓的方程，怎樣根據(jù)這兩個(gè)方程來判斷直線與圓的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖。通過上述問題，把學(xué)生的思維從生活中引進(jìn)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和探究意識。問題是數(shù)學(xué)的心臟，是學(xué)生思維和興趣的開始抓住了學(xué)生的注意力，此時(shí)再深入問題，進(jìn)入第二環(huán)節(jié).

二、自己建構(gòu)知識，探究發(fā)現(xiàn)問題

（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生對于以上問題1，在圖形的情境下，很容易想到初中熟悉的知識，然后對問題1到4給出答案，問題5從“形”的研究變成了“數(shù)”的研究，學(xué)生可能一時(shí)回答不出來。

（教師活動(dòng)）學(xué)生解決的問題3就是判斷直線與圓位置關(guān)系的“幾何法”，即通過圓心到直線的距離與半徑的大小進(jìn)行比較來判斷位置關(guān)系，讓學(xué)生畫出三種位置關(guān)系的圖示，同桌之間總結(jié)對應(yīng)的圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。

（學(xué)生活動(dòng)）完成直線與圓三種位置關(guān)系與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的表格。為了引導(dǎo)學(xué)生解決問題5，先讓學(xué)生思考求直線與圓的公共點(diǎn)的求法，進(jìn)一步提出：問題6求直線和圓的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系。

（學(xué)生活動(dòng)）通過觀察，從兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解是聯(lián)立方程組得到的這一思想出發(fā)，可初步得到求直線與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)也可轉(zhuǎn)化為求 的解。

（教師活動(dòng)）在引導(dǎo)學(xué)生解決問題6同時(shí)，誘導(dǎo)學(xué)生對于方程組的解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，及直線與圓的位置關(guān)系的進(jìn)一步的思考。再提出：問題7 方程組 解的情況與直線與圓的位置關(guān)系具有怎樣的一般性結(jié)論？

（學(xué)生活動(dòng)）由方程組 消元得到一元二次方程組的判別式，完成上表中的“代數(shù)法”，總結(jié)一般性的方程的解與公共點(diǎn)及直線與圓的位置關(guān)系判斷方法，并且比較“幾何法”與“代數(shù)法”的適用性。

設(shè)計(jì)意圖，通過問題6與問題7，使學(xué)生置身于符合自身實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，從自己已有的經(jīng)驗(yàn)和已知的基礎(chǔ)知識出發(fā)，經(jīng)歷具體的問題的求解，從而升華為解決問題的思想方法，體現(xiàn)了由具體到一般的思想。在問題解決過程中，不僅提高了學(xué)生知識水平，整合了知識結(jié)構(gòu)，而且滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題的發(fā)散性思維能力。

三、提高鞏固，應(yīng)用提高

（一）新知內(nèi)化，直接應(yīng)用。為了正確理解這兩種方法，及時(shí)的運(yùn)用是非常有必要的。為此，提出：問題8試就實(shí)數(shù)的值討論直線和圓的位置關(guān)系。

（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生選擇自己總結(jié)的方法對該問題進(jìn)行解答，可以知道兩種方法都可解決問題，但計(jì)算的難易程度有所不同。

（教師活動(dòng)）指出學(xué)生解決問題時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，分析兩種方法的優(yōu)劣。設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上提出新問題，初步掌握運(yùn)用兩種方法判斷直線與圓的位置關(guān)系。

（二）能力提升，應(yīng)用靈活問題9（1）自點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程。（2）自點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程。（3）自點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程。你能歸納出具有一般性的結(jié)論嗎？

（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生相互討論，研究嘗試求該圓的切線的方程的方法，并且尋找這兩題中存在的區(qū)別和聯(lián)系，再次尋找一般性的結(jié)論。

（教師活動(dòng)）深入學(xué)生中，與學(xué)生交流，了解學(xué)生思考問題的方法和進(jìn)展，展示學(xué)生的解題過程，指出錯(cuò)誤，特別指出用待定系數(shù)法時(shí)的避免遺漏斜率不存在的情況，并規(guī)范書寫格式。

設(shè)計(jì)意圖，此題設(shè)置了三小問，第一小問的點(diǎn)A在圓上，第二小問點(diǎn)在圓外，第三小問過點(diǎn) 的切線中有一條斜率不存在，旨在讓學(xué)生從中自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合初中已有的圓的知識進(jìn)行判斷，并且發(fā)現(xiàn)一般的結(jié)論，這樣的問題模擬了真理發(fā)現(xiàn)的過程，使探究氣氛達(dá)到高潮。因?yàn)橛行У膶W(xué)習(xí)過程，不能單考單調(diào)的模仿與記憶，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)過程更需要學(xué)生親身經(jīng)歷和實(shí)踐體驗(yàn)，因此，必須構(gòu)建師生互動(dòng)學(xué)習(xí)，生生合作交流，共同探究的數(shù)學(xué)課堂。

四、訓(xùn)練變式，方法形成

（教師活動(dòng)）給出一組題：問題10（1）已知直線 與圓 相切，則的值為。（2）若點(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線與圓的位置關(guān)系為。（3）自點(diǎn)（-3，3）發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在直線與圓C：相切，求光線所在直線的方程。（學(xué)生活動(dòng)）相互討論，尋求解決問題的方法和解答過程。

設(shè)計(jì)意圖這一組習(xí)題的設(shè)計(jì)，使問題由“生活”中來，到“生活”中去，通過學(xué)生的主動(dòng)參與，讓每一位學(xué)生有“用武之地”，深刻體會(huì)本節(jié)課的重要內(nèi)容和思想方法，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望與信心。

五、拓展延伸，回顧反思

（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，給出下列提綱，并就學(xué)生回答進(jìn)行點(diǎn)評。

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與圓位置關(guān)系的方法？

（2）在求圓的切線方程時(shí)應(yīng)注意哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖，通過讓學(xué)生閱讀課本的作業(yè)設(shè)置，其中課本例2是本節(jié)課關(guān)于切線的求法，，使學(xué)生養(yǎng)成先復(fù)習(xí)后做作業(yè)的習(xí)慣，也使他們養(yǎng)成預(yù)習(xí)新知識的習(xí)慣?；诒竟?jié)課內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，對課后的書面作業(yè)分為三個(gè)層次，分別安排了基礎(chǔ)鞏固題、理解題和拓展探究題。使學(xué)生完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，在知識拓展時(shí)起激學(xué)生探究的熱情，讓每一個(gè)不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅。

六、總結(jié)

通過問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生找到要學(xué)的與以學(xué)知識之間的聯(lián)系；問題串的設(shè)置可讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中來；在判斷方法的形成與應(yīng)用的探究中，師生的相互溝通調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神；知識的生成和問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維；通過練習(xí)檢測學(xué)生對知識的掌握情況；根據(jù)學(xué)生在課堂小結(jié)中的表現(xiàn)和課后作業(yè)情況，查缺補(bǔ)漏，以便調(diào)控教學(xué)。