基于MATLAB的二階控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

【摘 要】本文以二階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性為對象，利用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱進行分析。分析過程簡單，結(jié)果準(zhǔn)確可靠；文章結(jié)合實例，驗證了其真實性和有效性。

【關(guān)鍵詞】控制系統(tǒng) 穩(wěn)定性 MATLAB

一、引言

控制系統(tǒng)是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，利用時域分析法、頻率分析法和根軌跡法可以對控制系統(tǒng)進行分析，分析過程中涉及控制系統(tǒng)的模型建立、系統(tǒng)分析以及其他相關(guān)技術(shù)，數(shù)學(xué)模型具有一定的抽象性，分析時需要大量的數(shù)學(xué)知識和運算，計算比較復(fù)雜，必須通過計算機的強大數(shù)學(xué)計算能力來實現(xiàn)將數(shù)學(xué)模型的具體化。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，自動控制理論及其相關(guān)技術(shù)已廣泛應(yīng)用于在航空航天、機器人等高新技術(shù)領(lǐng)域以及醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟管理和其它許多生活領(lǐng)域，在社會生活中發(fā)揮著十分重要的作用[1]。但在實際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，必須通過專業(yè)的系統(tǒng)建模軟件和數(shù)學(xué)分析軟件，將一個控制系統(tǒng)的復(fù)雜數(shù)學(xué)模型輸入到計算機中，并進行系統(tǒng)分析與仿真。因此，若要對控制系統(tǒng)進行仿真分析，就需要一種具有強大數(shù)值計算能力且方便使用的高級科學(xué)分析與計算軟件。

MATLAB是一個既可以分析系統(tǒng)性能，又可以對系統(tǒng)進行建模仿真的數(shù)學(xué)軟件，它是Matrix Laboratory（矩陣實驗室）的縮寫，是Mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣分析、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及數(shù)值計算的科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案[2]。

二、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及判別依據(jù)

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指控制系統(tǒng)在受到干擾信號影響，系統(tǒng)的原有平衡狀態(tài)被破壞后，經(jīng)過其自身的自動調(diào)節(jié)能夠重新回到平衡狀態(tài)的性能。當(dāng)系統(tǒng)在干擾信號作用下偏離了原來的平衡狀態(tài)時，若系統(tǒng)能通過自身的調(diào)節(jié)作用重新回到平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若偏差不斷增加，即使干擾消失，系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明穩(wěn)定性是系統(tǒng)在干擾消失后的一種恢復(fù)能力，是系統(tǒng)的一種固有特性，它僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與初始條件及輸入信號無關(guān)，任何一個控制系統(tǒng)的正常運行必須保證其系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性并保證系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，是控制系統(tǒng)實現(xiàn)的基本問題。

對于控制系統(tǒng)來說，判斷其穩(wěn)定性，可以采用給系統(tǒng)加外部干擾的方式進行判斷。其中，單位沖擊函數(shù)δ（t）作為控制系統(tǒng)的外部干擾時，其引起的系統(tǒng)響應(yīng)稱為該控制系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h（t），可根據(jù)h（t）的變化來判斷該控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]：h（t）隨時間t呈衰減變化表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。而h（t）的變化又與控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）的極點分布有關(guān)，若H（s）的全部極點均位于其s平面的左半平面上，則其h（t）隨時間t的增長而逐漸衰減，當(dāng)t→∞時，h（t）減至零，這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，若H（s）的極點分布不滿足上面的情況，則h（t）的變化規(guī)律為等幅振蕩或增幅振蕩，系統(tǒng)則處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

三、用MATLAB對控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析及建模仿真

（一）控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

圖1所示為二階線性控制系統(tǒng)，以為響應(yīng)對系統(tǒng)進行研究，已知R=6Ω，L=2H，C=0.1F，對圖1所示的二階控制系統(tǒng)，根據(jù)電路相關(guān)定理，可列出方程：

將式（1-1）進行化簡，代入已知參數(shù)后進行Laplace變換可得

（1-2）

則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）為：

（1-3）

（二）用MATLAB分析系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點分布圖和沖擊響應(yīng)曲線圖

根據(jù)圖1所示的控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達式，編寫MATLAB程序繪制零極點分布圖和單位沖擊響應(yīng)曲線圖，程序如下：

b=[0 0 5]；a=[1 3 5]；sys=tf（b，a）；poles=roots（a）；figure（1）；pzmap（sys）；t=0：0.01：10；h=impulse（b，a，t）；figure（2）；plot（t，h）；grid on；

將上述程序在MATLAB中運行，得到該控制系統(tǒng)的零極點分布圖（圖2，其中在零極點圖中，極點以“X”表示，零點以“O”表示）以及單位沖擊響應(yīng)曲線圖（圖3），如下所示：

圖2 控制系統(tǒng)的零極點分布圖

圖3 控制系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)曲線圖

觀察零極點分布圖，得到控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點均分布在s平面的左半平面上。根據(jù)沖擊響應(yīng)曲線圖明顯看出，當(dāng)t→∞時，h（t）趨向于0，即隨著時間的增大系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)逐漸減弱直至消失[4]。所以該控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

（三）用Simulink建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型并進行仿真

根據(jù)圖1所示的控制系統(tǒng)的模型，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如圖4所示，并根據(jù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型仿真其沖擊響應(yīng)。在單位沖擊函數(shù)作用下控制系統(tǒng)會產(chǎn)生沖擊響應(yīng)，然而在Simulink沒有內(nèi)置單位沖擊函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)模塊，因此，以單位沖擊函數(shù)為干擾源獲取系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)的途徑，可以嘗試近似方法，建立一個單位沖擊函數(shù)描述系統(tǒng)的干擾信號。建立單位沖擊函數(shù)的途徑為：根據(jù)單位沖擊函數(shù)的定義，單位沖擊函數(shù)采用面積為1的脈沖函數(shù)來近似。近似脈沖寬度要滿足兩個條件：脈沖的寬度不大于控制系統(tǒng)的動態(tài)模式，且不宜太小，避免造成截斷誤差。所以，單位沖擊函數(shù)由兩個階躍函數(shù)組合而成的[5]。在仿真之前，首先設(shè)置step模塊的階躍時間step time為0，終值final value為50，然后設(shè)置step1模塊的階躍時間step time為0.02，終值final value為50，設(shè)置完成后，在Simulink中對系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)進行仿真。Simulink仿真的最終結(jié)果如圖5所示。

圖4 控制系統(tǒng)的Simulink數(shù)學(xué)模型

圖5 Simulink仿真控制系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)曲線圖

從圖5可以看出，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)h（t）的單位沖擊響應(yīng)趨向于0，且與圖2相比，曲線的變化趨勢相同。因此，系統(tǒng)建模是正確的，而且系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

（四）基于頻率特性的穩(wěn)定性分析

控制系統(tǒng)的頻域分析中有幅相頻率穩(wěn)定判據(jù)與對數(shù)頻率穩(wěn)定依據(jù)兩個對系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的方法，即Bode圖法與Nyquist曲線法。下面分別用這兩種方法來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其MATLAB程序如下：

b=[0 0 5]；

a=[1 3 5]；

figure（1）

nyquist（b，a）；

title（‘nyquist plot’ ）；

figure（2）

[mag，phase，w]=bode （b，a）；

margin（mag，phase，w）；

在MATLAB中運行該程序后，得到該控制系統(tǒng)的Nyquist曲線圖（圖6）和Bode圖（圖7），如下所示：

圖6 該控制系統(tǒng)的Nyquist曲線圖

圖7 該控制系統(tǒng)的Bode圖

Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)，簡稱奈氏穩(wěn)定判據(jù)，其內(nèi)容是：如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist曲線圖逆時針包圍（-1，j0）點的圈數(shù)等于系統(tǒng)在s平面右平面上極點的個數(shù)P，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定[6]。由圖2可得，系統(tǒng)在s平面右平面上的極點個數(shù)為0，圖6顯示的Nyquist曲線逆時針沒有包圍（-1，0）點，則根據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)，該控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

Bode圖（對數(shù)頻率特性曲線）有兩條曲線，分別是對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性。Bode圖的穩(wěn)定判據(jù)可表示為：如果開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右平面上的極點個數(shù)為P，則在對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與-180°線的正負穿越之差為P/2，則該系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖7顯示的Bode圖中，在對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線未穿越-180°線，即正負穿越之差為0，且由圖2可得，系統(tǒng)在s平面右平面上的極點個數(shù)為0，則根據(jù)Bode圖的穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

（五）基于根軌跡的穩(wěn)定性分析

根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)的某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。當(dāng)開環(huán)增益K從0～+∞時，根軌跡若均在s平面的左半部，則表明系統(tǒng)對所有大于0的K值都是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)是不穩(wěn)定[7]。

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）=K/[s（2s+1）（s+2）]，繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB程序代碼如下：

b=[1]；

a=conv（[2 1 0]，[1 2]）；

sys=tf（b，a）；

rlocus（sys）；title（'Root Locus'）；

[k，poles]=rlocfind（sys）

光標(biāo)選定虛軸臨界點，在MATLAB中運行上述程序，得到該控制系統(tǒng)的根軌跡圖（圖8），如下所示：

圖8 該控制系統(tǒng)的根軌跡圖

Select a point in the graphics window

selected_point = -0.0016 + 0.9841i

k = 4.8360

poles = -2.4886 -0.0057 + 0.9857i -0.0057 - 0.9857i

當(dāng)k取4.8360時，位于虛軸上的極點±0.9857i，另一個極點為-2.4886，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。

四、結(jié)論

利用MATLAB對典型電路的二階線性控制系統(tǒng)進行仿真和分析，獲得該控制系統(tǒng)的零極點分布圖和沖擊響應(yīng)曲線，并對該系統(tǒng)的頻率特性進行穩(wěn)定性分析，得到Nyquist曲線、Bode圖，最后對基于根軌跡法的穩(wěn)定性分析進行了研究，確定了其穩(wěn)定性。整個過程簡單、便捷。同時，輸出的圖形使結(jié)論更加準(zhǔn)確。

參考文獻：

[1]李正周. MATLAB數(shù)字信號處理與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2]梁虹.信號與系統(tǒng)分析及MATLAB實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.

[3]羅斌，馮輝，唐義鋒. MATLAB軟件在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與仿真中的應(yīng)用[J].佳木斯：佳木斯大學(xué)學(xué)報.2010.

[4]張德豐.MATLAB程序設(shè)計與工程應(yīng)用[M].北京：清華出版社，2011.

[5]王紅梅，黃華飛，唐春霞. MATLAB軟件在信號與系統(tǒng)試驗中的應(yīng)用[J].廣西：廣西輕工業(yè).2007.

[6]王雙紅.基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J].鄭州：中原工學(xué)院學(xué)報.2007.

[7]董景新，趙長德，郭美鳳.控制工程基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社.2009.