數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

【摘 要】數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思考方法。在高考試題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”。巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 思想 方法 解題

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的?！皵?shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻、透徹的闡釋。具體地說，就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征，或使“數(shù)”的問題，借助于“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}，借助于“數(shù)”去思考，這種解決問題的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想。事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想，就是用聯(lián)系的觀點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的圖形，并利用圖形的性質(zhì)和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或?qū)D形的部分信息或全部信息轉(zhuǎn)換成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決。給“數(shù)”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，就能變抽象為直觀；給“形”的問題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，更能從本質(zhì)上深刻認(rèn)識(shí)“形”的幾何屬性。

數(shù)與形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問題，或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。下面舉例說明數(shù)與形結(jié)合的思想方法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用。

一、以“形”助數(shù)，形象直觀

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)試題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析其數(shù)的含義，使數(shù)量關(guān)系與其幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，以“形”助數(shù)，使抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，從而可以幫助找到解決問題的思路和方法。

本題解題的關(guān)鍵是借助“形”，同時(shí)賦予b=2x+y截距幾何意義——斜率為-2的直線在y軸上的截距。這樣問題就容易理解多了，充分體現(xiàn)了以“形”助數(shù)，形象直觀，數(shù)形結(jié)合思想解題的有效性。教師要認(rèn)真研究教材，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習(xí)慣，用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，使它成為分析問題、解決問題的工具，這是我們所有數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該追求的目標(biāo)。

二、以“數(shù)”輔形，求解簡(jiǎn)捷

有關(guān)“形”的問題，往往是通過邏輯推理來求解，有時(shí)候求解起來有很大的難度，若轉(zhuǎn)化為代數(shù)法（特別是空間向量法）來解決，則容易得多。“數(shù)”輔形方法簡(jiǎn)捷、易作、易證，被稱為求解幾何問題的一把“解牛刀”。

向量是體現(xiàn)以“數(shù)”輔形方法的良好載體，是溝通代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是求解立體幾何問題的重要工具。

數(shù)形結(jié)合思想在教材中，具有突出的地位。如：在集合運(yùn)算中的應(yīng)用。涉及集合的運(yùn)算，常常采用文氏圖，數(shù)軸等形象、直觀的方式；在研究函數(shù)時(shí)，已知函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，再通過函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；或通過圖表的分析，抽象出變量之間的規(guī)律，再通過變量之間的規(guī)律的研究，進(jìn)一步掌握?qǐng)D表的變化趨勢(shì)；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)出適當(dāng)?shù)膱D形證明不等式和解不等式往往十分簡(jiǎn)捷。又如，笛卡兒用數(shù)形結(jié)合思想將長期對(duì)立的代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合，創(chuàng)立了數(shù)學(xué)的一大分支——解析幾何，構(gòu)建曲線與方程的理論，集中解決了兩大問題：已知曲線求方程和通過方程研究曲線的性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，在解題過程中應(yīng)用十分廣泛，它把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理。

參考文獻(xiàn)：

[1]參考 《高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法》徐有標(biāo) 劉治平 著