數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)概念、理論的相互聯(lián)系和本質(zhì)所在，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)和本質(zhì)體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中所要探討的一個(gè)重要問題。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握了數(shù)學(xué)思想方法，既可以提高理論水平，又可以用它指導(dǎo)做題實(shí)踐。筆者認(rèn)為《數(shù)列》教學(xué)中只有重視“數(shù)學(xué)思想方法”的挖掘與運(yùn)用，讓學(xué)生站到思想的高度去認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，才有利于學(xué)生學(xué)好數(shù)列知識(shí)。

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想是指用函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的一種重要的思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。它就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，分析、研究某具體問題中的一些相互制約的變量，通過建立函數(shù)關(guān)系來研究這些變量之間的相互制約、相互聯(lián)系的特點(diǎn)，最后使問題獲得解決。

例1.等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9=S12，求數(shù)列前多少項(xiàng)和最小。

解法一：由S9=S12，得9a+■d=12a1+■d，得3a1=-30d，d=-■a1，∵a1<0∴d>0，∴Sn=na1+■n（n-1）d=■dn2-■dn=■（n-■）2-■d∵d>0∴Sn有最小值，又∵n∈N*，∴n=10或n=11時(shí)，Sn取最小值，最小值為-55d，即S10或S11最小，且S10=S11=-55d

解法二：由解法一知，d=-■a1>0，又∵a1<0，∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列。令an≤0an+1>0即a1+（n-1）d≤0a1+nd>0？圯a1+（n-1）（-■a1）≤0a1+n（-■a1）>0？圯1-■（n-1）≥01-■n<0？圯10

∴數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值，a11=0，從第12項(xiàng)起為正值。

∴n=10或11，Sn取最小值。

解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0，∴3a11=0，a11=0

又∵a1<0 ∴數(shù)列為遞增數(shù)列。

因此，數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值，a11=0，從第12項(xiàng)起為正值

∴當(dāng)n=10或11時(shí)，Sn取最小值。

點(diǎn)評(píng)：在解決數(shù)列問題時(shí)，可以把數(shù)列看作特殊的函數(shù)，本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，考查了數(shù)列的最值問題。

二、分類討論思想

分類討論思想體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不遺漏，不重復(fù)，科學(xué)的劃分，分清主次，不越級(jí)討論，最主要的是“不重不漏”。在數(shù)列中需要進(jìn)行的分類討論主要有以下三個(gè)方面：①涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)注意對(duì)公比的討論；②求前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意對(duì)n的奇、偶數(shù)的討論；③對(duì)數(shù)列中涉及絕對(duì)值時(shí)或其他參數(shù)時(shí)，要注意相應(yīng)內(nèi)容的討論等。

例2.數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2，則滿足an+2-2an+1+an=0（n∈N*）

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)Sn=a1+a2+…an，求Sn

解答：（1）因?yàn)閍n+2-2an+1+an=0，所以an+2-an-1=an+1-an（n∈N*），即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，又a1=8，a4=2，即a1+3d=2，從而d=-2，于是an=10-2n

（2）由an=10-2n≥0an+1=10-2（n+1）<0

解得4

當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=a1+a2+…+an=■=-n2+9n；

當(dāng)n>5時(shí)，Sn=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）=2（a1+a2+…a5）-（a1+a2+…+an）=n2-9n+40

點(diǎn)評(píng)：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一，它涉及的范圍很廣，每年都是高考必考的思想方法。2013年浙江高考理科數(shù)學(xué)第18題就考到了此類問題。

三、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題，這是解決數(shù)列問題重要方法。

例3.已知數(shù)列{an}中an=■，則該數(shù)列的前50項(xiàng)中最大的項(xiàng)數(shù)是_____

解析：根據(jù)函數(shù)的斜率知識(shí)即考慮點(diǎn)（n，n）與點(diǎn)（■，■）的斜率，畫圖可知答案為9。

點(diǎn)評(píng)：化歸是一種探尋問題本質(zhì)的過程，這也是我們能脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高一點(diǎn)解題能力的有效策略，例3把數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題解決，大大降低了此題解決的難度。通項(xiàng)所具有的特性就是數(shù)列中每一項(xiàng)所具有的特性，這是數(shù)列的本質(zhì)特征，為此，對(duì)通項(xiàng)化歸是研究數(shù)列問題的一種重要思想方法。

四、整體思想

整體思想，就是在研究和解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法，從整體上認(rèn)識(shí)問題、思考問題，常常能化繁為簡(jiǎn)，變難為易，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性。

例4.已知a1=3，an+1=5an+4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解答：由an+1=5an+4，得an+1=5（an+1） 即■=5

∴數(shù)列{an+1}是以a1+1=4為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列

∴an+1=4·5n-1 ∴an=4·5n-1-1

點(diǎn)評(píng)：本題是把a(bǔ)n+1看成一個(gè)整體構(gòu)造成一個(gè)等比數(shù)列，從而使本題處理起來十分簡(jiǎn)單。

五、性質(zhì)思想

等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種特殊的數(shù)列，它們有許多典型的性質(zhì)。對(duì)這兩種數(shù)列的項(xiàng)的研究，既可以從定義出發(fā)，也可以從性質(zhì)出發(fā)。由于性質(zhì)是數(shù)列所蘊(yùn)含特性的一種本質(zhì)揭示，因此，從性質(zhì)出發(fā)去研究常?？梢允箚栴}更加簡(jiǎn)化。

例5.在等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則a9-■a11=

分析：由{an}是等差數(shù)列，得a4+a12=a6+a10=2a8，

所以a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120，解得a8=24，

于是a9-■a11=（a8+d）-■（a8+3d）=■a8=16

點(diǎn)評(píng)：以上用到了等差數(shù)列的兩個(gè)性質(zhì)：（1）若i+j=p+q（i，j，p，q∈N*），則ai+aj=ap+aq；（2）an=am+（n-m）d（n>m，m，n∈N*）。

（作者單位 浙江省武義第三中學(xué)）

？誗編輯 薄躍華