《軸對(duì)稱變換在幾何最值中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要：利用軸對(duì)稱變換求幾何最值的問題歷來是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，按照情景導(dǎo)入，引出主題；及時(shí)練習(xí)，鞏固新知；知識(shí)遷移，拓展新知；結(jié)合生活，應(yīng)用新知；小結(jié)升華，形成結(jié)論五個(gè)階段設(shè)計(jì)，使學(xué)生切實(shí)掌握利用軸對(duì)稱變換解決幾何最值問題，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的能力。

關(guān)鍵詞：軸對(duì)稱變換；幾何最值；教學(xué)設(shè)計(jì)

軸對(duì)稱變換是幾何中一種基本變換，如何利用軸對(duì)稱變換解決實(shí)際問題中的路徑最短問題、軸對(duì)稱變換的作圖和性質(zhì)以及“兩點(diǎn)之間線段最短”是本節(jié)課應(yīng)用的基礎(chǔ)，本節(jié)課內(nèi)容為進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用提供了方法和經(jīng)驗(yàn)?！皠?dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所提倡的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，畫圖找點(diǎn)解決實(shí)際問題中最短路徑問題的探究過程是體現(xiàn)這一理念很好的素材，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究精神以及動(dòng)手實(shí)踐能力，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等有重要的作用。

教學(xué)片斷一：情境導(dǎo)入，巧妙轉(zhuǎn)化

例題（中考原題）已知正方形ABCD，P是AC上任一動(dòng)點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，要使BP+EP之和最小，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置。

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【課堂場(chǎng)景】

師：同學(xué)們，請(qǐng)看一道中考原題，你會(huì)做嗎？你認(rèn)為它難嗎？

（學(xué)生乍看到這個(gè)問題時(shí)，絕大多數(shù)一時(shí)束手無策，找不到本題的切入口，極少數(shù)學(xué)生會(huì)想到利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)找到點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)D，連接ED與AC交于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求。）

師：若去掉圖1中的正方形ABCD，E，B是直線AC同側(cè)的兩點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)確定點(diǎn)P位置。（這時(shí)幾乎全班學(xué)生都恍然大悟，氣氛一下活躍了很多，打破了一開始的寂靜，大家都記得這是課本上的一道作圖題。）

師：同學(xué)們，中考題就是課本上的基礎(chǔ)題綜合了其他知識(shí)點(diǎn)改編而來的，圖2是課本上一道原題，請(qǐng)同學(xué)們回憶這類問題的規(guī)律與做法。

師：此類問題的規(guī)律是什么？

生：同側(cè)變異側(cè)，兩點(diǎn)之間線段最短，折線段變直線段。

師：所用到的知識(shí)點(diǎn)？

生：點(diǎn)關(guān)于直線作軸對(duì)稱變換。

師：所用的數(shù)學(xué)思想？

生：轉(zhuǎn)化思想。

師：本節(jié)課的主題：軸對(duì)稱變換在幾何最值中應(yīng)用。

【教學(xué)反思】

在導(dǎo)課的設(shè)計(jì)中講究的是“第一錘就敲在學(xué)生的心上”，像磁石把學(xué)生吸引住。因?yàn)楸竟?jié)課是一節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生已有一定的基礎(chǔ)知識(shí)，所以直接用一道中考原題導(dǎo)入，使學(xué)生都躍躍欲試，產(chǎn)生求知的欲望，從而引起學(xué)習(xí)的興趣。

在日常的聽課和觀摩課中，我們發(fā)現(xiàn)許多教師精心設(shè)計(jì)了教案，但講解時(shí)卻將課本棄之一邊，不善于將教材中知識(shí)延伸、拓寬的內(nèi)容和方法及時(shí)回歸課本，巧妙使用課本。結(jié)果是許多學(xué)生對(duì)課本的使用價(jià)值認(rèn)識(shí)不足，認(rèn)為課本沒有什么看頭，對(duì)課本中的概念、方法掌握得模棱兩可，一聽就懂，一看就會(huì)，一做就不對(duì)，教材的作用退化成做課后作業(yè)的習(xí)題集。當(dāng)筆者將圖1去掉正方形后轉(zhuǎn)化為圖2時(shí)，學(xué)生忽然眼前一亮，原來這竟是課本上一道簡(jiǎn)單的作圖題，讓學(xué)生意識(shí)到其實(shí)中考題也不難，是課本上一些基礎(chǔ)題目的拓寬，從而樹立扎實(shí)學(xué)好課本基礎(chǔ)知識(shí)的意識(shí)。

教學(xué)片段二：及時(shí)練習(xí)，鞏固新知

題1（中考原題）已知平行四邊形ABCD，E是AB上一點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，確定點(diǎn)P的位置，使得PE+PB之和最小。

題2（中考原題）已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，點(diǎn)N在BC上，CN=2，E是AB的中點(diǎn)，在AC上找一點(diǎn)M，使得EM+MN值最小，此時(shí)最小值= 。

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【課堂場(chǎng)景】

師：經(jīng)過剛才的熱身學(xué)習(xí)后，已經(jīng)歸納出本節(jié)課的中心內(nèi)容。這兩道題請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成。（學(xué)生認(rèn)真解題，筆者觀察學(xué)生，進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，及時(shí)給予評(píng)價(jià)與反饋，并根據(jù)學(xué)生作答情況適當(dāng)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度與方向。等大部分學(xué)生做完后，筆者叫兩位學(xué)生分別講解解題步驟，然后對(duì)學(xué)生易錯(cuò)的地方進(jìn)行分析。）

師：老師剛才檢查大家做題時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)在做第1題時(shí)仿照例題連接DE，DE與AC的交點(diǎn)為所求點(diǎn)P，同學(xué)們仔細(xì)思考錯(cuò)在什么地方呢？

生：點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)不是點(diǎn)D。

師：對(duì)，因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形，而不是軸對(duì)稱圖形，B的對(duì)稱點(diǎn)不是點(diǎn)D，通過仔細(xì)規(guī)范地作圖后，找到點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)E與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P。

同樣，在做第2題時(shí)，部分學(xué)生也沒有找對(duì)點(diǎn)M關(guān)AC的對(duì)稱點(diǎn)F。由已知條件AD∥BC，得∠DAC=∠ACB，由AD=DC=4得到∠DCA=∠DAC，從而得到∠DCA=∠ACB，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在DC上，且F為DC的中點(diǎn)，連接EF與AC交于點(diǎn)M，再利用梯形的中位線的性質(zhì)就可以解決問題了。

【教學(xué)反思】

課內(nèi)確保有練習(xí)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固。有些課堂教學(xué)，教師認(rèn)為自己講解得很清楚，學(xué)生理應(yīng)掌握；有些內(nèi)容學(xué)生當(dāng)堂課上好像掌握了，時(shí)間不久又會(huì)迅速遺忘，所授知識(shí)在課堂教學(xué)中沒有及時(shí)訓(xùn)練，是出現(xiàn)此類情況的關(guān)鍵原因。為確保每一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)和方法能讓學(xué)生牢牢地正確掌握，課堂教學(xué)中必須及時(shí)訓(xùn)練、評(píng)估、反饋和鞏固，根據(jù)反饋情況，有時(shí)教師要調(diào)整自己的教學(xué)進(jìn)度和安排，確保每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)和方法的教學(xué)落到實(shí)處，不能指望在后面補(bǔ)習(xí)時(shí)再去炒冷飯。

本題組中的兩道考題除了要運(yùn)用軸對(duì)稱變換外，第1題還涉及平行四邊形的性質(zhì)，第2題還涉及梯形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，考查的是學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。很多學(xué)生一直認(rèn)為中考問題難度很大，綜合性很強(qiáng)，計(jì)算量也大，通過練習(xí)，使學(xué)生掌握中考題目中知識(shí)點(diǎn)的巧妙結(jié)合與特有的解題技巧，讓他們明白中考題的雛形都來源于數(shù)學(xué)課本，并且綜合了平時(shí)最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生不再害怕中考，敢于面對(duì)中考，為今后參加中考考試培養(yǎng)自信心。

教學(xué)片段三：知識(shí)遷移，拓展新知

題3（中考原題）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A（5，5），B（2，1），x軸上一動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A、B的距離分別為AP、BP，求AP+BP的最小值與點(diǎn)P的坐標(biāo)。

題4（中考原題）已知平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)（-5，3）B（-3，5）及動(dòng)點(diǎn)C（0，n），D（m，0）。求當(dāng)■為何值時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，并求最小值。

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【課堂場(chǎng)景】

師：同學(xué)們，請(qǐng)快速作答題3。（經(jīng)過前面的訓(xùn)練，學(xué)生很快做出。筆者讓一位學(xué)生講解求解過程）

生：過點(diǎn)A（或B）關(guān)于x軸作對(duì)稱點(diǎn)C（或D），連接BC（或AD）與x軸的交點(diǎn)為P。

師：同學(xué)們，第三小題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，那么兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的問題你能解決嗎？請(qǐng)看第四小題。（學(xué)生看完題目后開始七嘴八舌地討論起來，然后在練習(xí)本上嘗試解答。）

師：同學(xué)們，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題做一次軸對(duì)稱變換，類比想一想兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題作幾次軸對(duì)稱變換呢？（經(jīng)過筆者的提示，大部分學(xué)生有了解題的思路。）

生：將A與B分別關(guān)于x軸與y軸作軸對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)C與點(diǎn)D。

師：請(qǐng)同學(xué)們思考為什么這么做四邊形的周長(zhǎng)最??？我們一起小結(jié)作此類問題的方法。一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題：同側(cè)變異側(cè)，兩點(diǎn)之間線段最短，折線段變?yōu)橹本€段；兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題：一點(diǎn)關(guān)于兩條直線做軸對(duì)稱變換，利用兩點(diǎn)之間線段最短，把折線段轉(zhuǎn)化為直線段。（大家贊不絕口，感受數(shù)學(xué)的巧妙與奇特。）

【教學(xué)反思】

課堂教學(xué)高潮如同“駝峰”，在教學(xué)中起著不可忽視的作用。如果缺少課堂教學(xué)高潮，教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)將難以突破，課堂氣氛也將難以調(diào)動(dòng)。課堂教學(xué)高潮是指給學(xué)生留下最深刻鮮明的印象并得到學(xué)生最富于感情反應(yīng)的時(shí)刻，這時(shí)師生雙方的積極性達(dá)到最佳配合狀態(tài)。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)高潮時(shí)應(yīng)找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，或設(shè)在重點(diǎn)、難點(diǎn)處，或設(shè)在疑問叢生處。本例采用類比與對(duì)比過渡的形式，由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題遷移到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題，自然地引向本節(jié)課的高潮。

教學(xué)片段四：結(jié)合生活，應(yīng)用新知

題5.兩條河交匯于點(diǎn)O，夾角45°，旅行家住在點(diǎn)P，離點(diǎn)O有200米，他希望到AO上一點(diǎn)C欣賞風(fēng)光，再折到河岸BO上任一點(diǎn)D處眺望景物，最后回到住地，則旅行家最少走多少米呢？

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【課堂場(chǎng)景】

師：同學(xué)們，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題已經(jīng)探究過了，大家能否用所學(xué)知識(shí)獨(dú)立解決一些生活中的問題呢？（大部分學(xué)生很感興趣，專心致志地動(dòng)手做題了，筆者叫了兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板演。等兩個(gè)學(xué)生板演結(jié)束，筆者一邊分析問題，一邊糾正做題的規(guī)范性，并及時(shí)給予肯定。）

師：剛才兩位同學(xué)已基本掌握了本道題的解法，請(qǐng)大家一起總結(jié)下解這道題的關(guān)鍵是什么？

生：是點(diǎn)P通過兩次軸對(duì)稱變換后把原圖形轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用。

【教學(xué)反思】

本問題求解的過程中，教師幫助學(xué)生充分體會(huì)軸對(duì)稱變換在解決問題中的轉(zhuǎn)化作用，學(xué)習(xí)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，讓學(xué)生真正體驗(yàn)探究的快樂，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)片段五：小結(jié)升華，形成結(jié)論

【課堂場(chǎng)景】

師：同學(xué)們?cè)诒竟?jié)課接近尾聲的時(shí)候請(qǐng)回顧本節(jié)內(nèi)容，今后你會(huì)解決哪些方面內(nèi)容？解決此類問題用哪些方法？哪些知識(shí)？（學(xué)生七嘴八舌，都能說到一部分內(nèi)容或方法，但都不夠完整。教師適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)性的提問。）

師：所用到的知識(shí)點(diǎn)？

生：軸對(duì)稱變換。

師：所用到的方法？

生：折線段轉(zhuǎn)化為直線段——刻畫出數(shù)學(xué)中的基本圖形。

師：此類問題的規(guī)律？

生：同側(cè)變異側(cè)，兩點(diǎn)之間線段最短，折線段變直線段。

師：所用的數(shù)學(xué)思想？

生：轉(zhuǎn)化思想、類比思想。

師：會(huì)解決的問題？

生：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所涉及的最值問題。（教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書總結(jié)。）

師：同學(xué)們總結(jié)得非常好，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考下面的問題，課后作答。這是一道三個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最值的問題，有興趣的同學(xué)課后可以思考。

題6.已知銳角三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、CA、AB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定三動(dòng)點(diǎn)的位置，使得三角形DEF的周長(zhǎng)最小。

【教學(xué)反思】

一堂好的課，課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)十分重要。學(xué)生的個(gè)體差異是一個(gè)客觀存在，為了讓每個(gè)學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上有所提高，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂和進(jìn)步的樂趣，達(dá)到全面提高學(xué)生素質(zhì)的目的，最好的方法就是題組式的例題與練習(xí)交替設(shè)置。不同的學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的層次接收，真正實(shí)現(xiàn)人人學(xué)必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。本節(jié)課通過題組的形式從一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)再升華到三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，難度從低到高。一個(gè)動(dòng)點(diǎn)最值問題要求所有學(xué)生都能靈活運(yùn)用，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題要求多一半學(xué)生能理解與掌握，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題讓極少數(shù)學(xué)生繼續(xù)自主探究，提高學(xué)習(xí)的興趣，讓數(shù)學(xué)課堂從課內(nèi)拓展到課外。

教師在傳授知識(shí)的同時(shí)，更為重要的是指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，授之以魚，不如授之以“漁”。因此，在教學(xué)過程中重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，就等于抓住了教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過教師的學(xué)法指導(dǎo)，把知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能，促使教學(xué)達(dá)到“教是為了不教”的境界，從而大大提高教學(xué)質(zhì)量。本節(jié)課在講一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生巧妙轉(zhuǎn)化，建立基本的數(shù)學(xué)模型，即授之以“漁”，讓學(xué)生繼續(xù)解決兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題。在整堂課結(jié)束之際，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本堂課的知識(shí)點(diǎn)及所運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想。

參考文獻(xiàn)：

[1]張昕，任奕奕.新課程教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2004.

[2]關(guān)文信.新課程理念與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)施[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2008.

（作者單位 杭州北苑實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

？誗編輯 郭曉云