與兩條異面直線成等角的直線條數(shù)問(wèn)題的探究及推廣

摘 要：立體幾何是高中階段的重難點(diǎn)，而且對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求也越來(lái)越高。對(duì)與兩條異面直線成等角的直線條數(shù)問(wèn)題進(jìn)行探究，并進(jìn)一步推廣到與兩相交平面成等角的直線條數(shù)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：異面直線；夾角；推廣

例.已知異面直線a，b所成角為40°，在過(guò)空間一定點(diǎn)P（P點(diǎn)在兩條直線外）的直線中與a，b所成角均為60°、70°或80°的直線分別有幾條？

分析：對(duì)異面直線所成角的問(wèn)題，我們一般采取“平移法”將空間角轉(zhuǎn)化為平面角。本題將異面直線a，b都平移到過(guò)點(diǎn)P，問(wèn)題就變得容易多了。

解：過(guò)P分別作異面直線a，b的平行線a′與b′，則a′與b′可確定平面α。設(shè)l1與l2分別是∠1與∠2的角平分線，其中∠1=40°，∠2為∠1的補(bǔ)角，且l3⊥l1，l3⊥l2。由圖可得在l1與l3確定的平面內(nèi)與a′，b′夾角均為60°的直線有2條，并都與l1的夾角相等，那么與a，b所成角均為60°的直線也有2條。在l1與l3確定的平面內(nèi)，有2條與a′，b′夾角均為70°的直線，又因?yàn)椤?=140°，所以直線l2也與a′，b′的夾角為70°，那么與a，b所成角均為70°的直線就有3條。同理，在l1與l3確定的平面內(nèi)，有2條與a′，b′所成角均為80°的直線，但在l2與l3確定的平面內(nèi)，也有兩條與a′，b′成角均為80°的直線，并都與l2的夾角相等，那么與a，b所成角均為80°的直線就有4條。

經(jīng)過(guò)對(duì)上述具體問(wèn)題的分析，我們探究出與兩條異面直線成等角的直線條數(shù)問(wèn)題一般結(jié)論：

已知異面直線a，b所成角為θ0，其中0°<θ0<90°，過(guò)空間一定點(diǎn)P的直線中與a，b所成角均為θ的直線有幾條？

別有2條直線滿足條件。當(dāng)θ=90°時(shí)，滿足條件的直線有且只有1條，即異面直線a，b的公垂線。

我們進(jìn)一步推廣到兩個(gè)相交平面中：

已知兩平面α和β成角為θ0，其中0°<θ0<90°，過(guò)空間任意一點(diǎn)P的直線中與α和β成等角θ的直線有幾條？

分析：因?yàn)槠叫兄本€與同一平面所成的角相等，所以直線的條數(shù)與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，故把點(diǎn)P移到平面α和β的交線上研究。

作者簡(jiǎn)介：全水聰，男，出生于1983年9月10，碩士，內(nèi)蒙古包頭市第九中學(xué)數(shù)學(xué)老師。

閆溯，男，出生于1997年2月28，學(xué)生，內(nèi)蒙古包頭市第九中學(xué)高三（9）班。