運用辯證思想方法 拓展學生解題思路

摘 要：問題是數(shù)學的核心，沒有問題就沒有數(shù)學的研究。運用辯證觀點來分析問題、解決問題是搞好數(shù)學學習的重要一環(huán)，應引起大家的重視。根據(jù)教學實踐體會，列舉了八個方面數(shù)學內(nèi)容及數(shù)學學習方法間對立統(tǒng)一的辯證思維。教學者在教學中如何深入揭示這些知識的實質(zhì)，讓學生用辯證唯物主義觀點去認識對立統(tǒng)一的概念、性質(zhì)，才能深刻領(lǐng)會許多知識的實質(zhì)，從而更好地學習數(shù)學。

關(guān)鍵詞：對立統(tǒng)一；辯證思維；問題研究

問題是數(shù)學的核心，沒有問題就沒有數(shù)學的研究，數(shù)學的矛盾和統(tǒng)一，數(shù)學內(nèi)容變化間的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，是培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點、辯證唯物主義世界觀的重要內(nèi)容，在教學中深入揭示這些知識的實質(zhì)，用辯證唯物主義的觀點去認識對立統(tǒng)一的概念性質(zhì)，才能深刻領(lǐng)會許多知識的實質(zhì)，更好地學習數(shù)學。

一、“原”與“逆”

這里的“原”與“逆”是指原命題與逆命題相互應用及利用有關(guān)逆公式解題，有些公式教材中沒有介紹其逆公式，但其逆公式確實成立。

（4）冪的乘方公式（ab）n=anbn（n為整數(shù)），其逆公式anbn=（ab）n（n為整數(shù)）仍成立。如比較770與5035的大小。由于770=（72）35=4935，因此可很快得出結(jié)論。

二、“變”與“不變”

我們常用的去（或添）括號法則：在括號前面去掉負號，或在括號前面添上負號，那么括號內(nèi)的各項符號都要改變，但原式的“值”是始終不變的。這就體現(xiàn)著“變”與“不變”這對矛盾的統(tǒng)一。

在數(shù)學的各種變換中，常常有這種“形式”改變了但其實質(zhì)卻沒有改變的問題。

例如在列方程解濃度配比的應用題中稀釋（或加濃）前與稀釋（或加濃）后的質(zhì)量、濃度都要改變，但其溶質(zhì)卻沒有改變；鍛壓問題中，鍛壓前與鍛壓后的形狀改變了，但其質(zhì)量、體積卻沒有改變等等。這些不變量常常是列方程找等量關(guān)系的依據(jù)。因此在解許多數(shù)學問題時，常抓住這種形變而質(zhì)不變的實質(zhì)，往往會使問題迎刃而解。

例2.今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩七，問物幾何？

本問題應抓住這堆物無論怎樣去數(shù)其總量沒有改變這一事實。

三、“等”與“不等”

“等”與“不等”是數(shù)學矛盾的兩個方面，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，即有些“相等”的問題，也可以用“不等”的知識加以解決。如關(guān)于“大邊對大角”“大角對大邊”兩定理的證明就是一個很好的例證。

例3.如圖1，在△ABC中，AD、BE分別是∠CAB和∠CBA的平分線，O是它們的交點，且AD=BE，求證：AC=BC.

這是著名的斯坦納定理，不妨設(shè)∠CAB≥∠CBA （1）

由（1）（2）得∠CBA=∠CAB，于是有AC=BC.

四、“正”與“反”

當我們正面解決問題很復雜或很困難時，不妨從反面去思考、去嘗試。

例5.若三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-

2a=0，至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：三個方程中至少有一個方程有實數(shù)根，共有七種情況，如果逐一去討論，那是相當麻煩的，若考慮問題的反面，而去研究三個方程均無實數(shù) 五、“進”與“退”

解決問題往往是逐步推進的，隨著問題的不斷解決，逐步接近目標，最后解決問題，但對于有些問題直接推進有困難時，或感到無法可“進”時，此時不妨采取“退”的方法，在“退”中求“進”，往往能化難為易，出奇制勝。

例6.求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和是一個定值。

直接證明PD+PE這個定值較困難，首先要找到這個定值等于什么。為此將P點“退”到B點這個特殊位置，再設(shè)法證明PD+PE=BF（為定值），定值找到，“目標”由隱轉(zhuǎn)明，“進”也就有方向了。由全等三角形和矩形的性質(zhì)易證此題。

六、“分”與“合”

如果整個問題無法解決，可以把原來的問題分為幾個支問題，把各個支問題都解決了，那么整個問題也就解決了。

合與分相輔的主要表現(xiàn)形式是：綜合與單一間的合分，整體與部分間的合分，有限與無限間的合分，數(shù)學問題中的枚舉法、拆項添項法、割補法等都是合、分思想的具體應用。

例7.作出函數(shù)y=|x+1|+|x+1|的圖象。

整個地解決這個問題是不容易的，但注意到x的取值范圍，則“分”的思考有：

①當x≤-1時，原函數(shù)式為：y=2x；

②當-1≤x≤1時，原函數(shù)式為：y=2；

③當x>-1時，原函數(shù)式為：y=2x。

上述三部分的圖象均可作出，而合起來剛好是原函數(shù)的圖象。

七、“升”與“降”

代數(shù)中涉及“多元”“高次”等方程，都是通過“降”的思想來解決的，然后有些問題從“升”的角度來考慮，反而能使問題解決更簡便。

分析：此題若采用“升”的思想，從三次推到四次，將變得相對容易。

八、“分析”與“綜合”

“分析”與“綜合”是兩種對立統(tǒng)一的基本推理方法。綜合法從已知條件出發(fā)，應用定義、公理和定理，通過一系列正確的邏輯推理得出所需結(jié)論的方法。而分析法是把問題倒過來從結(jié)論入手考慮。即假定結(jié)論成立，然后由結(jié)論推演出一系列推論，一直到某個已知命題或達到一個容易證明的命題，最后把上述過程逐步逆轉(zhuǎn)推演，直到結(jié)論。

上述列舉的八個方面的對立統(tǒng)一的辯證思維是從各個不同角度進行考查的。事實上這些辯證思想、方法之間相互滲透交融，但是它們在總體上反映了數(shù)學解題過程中的辯證法思想的一些規(guī)律和特點。

作者簡介：陳莉莉，女，出生年月：1983.10，本科，就職于浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學，研究方向：初二數(shù)學。