從柯西不等式的求證體會不等式的證明方法

高中數(shù)學(xué)中，不等式的證明常常是困擾學(xué)生的一大難點，下面我結(jié)合二維柯西不等式的證明淺談不等式的證明方法。

此題用作差比較法，一般步驟：（1）作差；（2）變形；（3）定號。其中變形是難點，常用方法是因式分解或配方（對整式）、通分（對分式）、有理化（對無理式）。

證法2（分析法）（1）當ac+bd≤0時，不等式顯然成立。

（2）當ac+bd>0時，欲證原不等式成立，只需證（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，即證 分析法是執(zhí)果索因的思考方法。要證明不等式成立，只需證明與之等價的不等式成立即可。要求學(xué)生在表達的過程當中要注意不能把要求證的命題當已知條件用。

特殊地，當僅含兩組變量時，有（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）；（a，b，c，d∈R）

證法3（綜合法）∵（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2-2abcd+b2c2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2.

綜合法是由因?qū)Ч乃伎歼^程，常常要觀察所證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合已知不等式去選擇合理的證明方法。

證法4（構(gòu)造特殊函數(shù)法） 記f（x）=（a2+b2）x2+2（ac+bd）x+（c2+d2），

∵f（x）=（a2x2+2acx+c2）+（b2x2+2bdx+d2）=（ax+c）2+（bx+d）2≥0對？坌x∈R恒成立。

∴（1）當a2+b2≠0時，只需方程f（x）=0根的判別式△≤0，即[2（ac+bd）]2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

（2）當a2+b2=0即a=0，b=0時，原不等式顯然成立。

欲證不等式的結(jié)構(gòu)特征與一元二次方程根的判別式△=b2-4ac的結(jié)構(gòu)特征很類似，由此嘗試構(gòu)造一元二次函數(shù)，能使得其判別式就是所證的不等式或者與之相關(guān)，于是有了上述證法。

（2）當a2+b2=0時，易知原不等式成立。

用幾何法主要應(yīng)當觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想其幾何意義，用數(shù)形結(jié)合的方法求解，常見有表示直線的截距、斜率；兩點間的距離及點線距離（包含圓錐曲線的定義）、線線距離；用幾何法會使問題直觀、簡潔。

則ac+bd=mn cos？琢cos？茁+mn sin？琢sin？茁=mn cos（？琢-？茁），

∵mn cos（？琢-？茁）≤mn，∴原不等式成立。

在不等式的證明中以及用不等式法求最值時，能用三角代換法的應(yīng)盡可能用三角代換，基于三角函數(shù)的有界性，不容易求錯。形如已知 證法7（利用余弦定理） 設(shè)O（0，0），A（a，b），B（c，d），若O，A，B三點不共線，則在△OAB中考慮余弦定理：|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos∠AOB.

向量作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的工具，在不等式的證明、解決三角形、立體幾何、解析幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，是不可多得的好武器。

作者簡介：黃其芳，男，出生年月：1979.09，畢業(yè)于閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，就職于福建省漳州二中，研究方向：數(shù)學(xué)。