變量變換在解一階常微分方程中的應(yīng)用

摘 要： 本文重點(diǎn)介紹幾個(gè)一般的變量變換形式在把一些特殊類型的一階常微分方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程的應(yīng)用，方便初學(xué)者掌握求解特殊類型的一階微分方程的技巧，為以后學(xué)習(xí)高階微分方程、線性微分方程組的求解提供必要的知識(shí)準(zhǔn)備。

關(guān)鍵詞：變量變換；一階常微分方程；變量分類方程

一、形如=f(axm+byn+c)的方程，其中f(u)為u的連續(xù)函數(shù)

作變量變換u=axm+byn+c，則=maxm-1+nbyn-1=xm-1（am+

bnf(u)）即為變量分離方程.

二、形如=f(xmyn)的方程，其中f(u)為u的連續(xù)函數(shù)

作變量變換u=xmyn，則=mxm-1yn+mxmyn-1=[u(m+nf(u))]/x即為變量分離方程。

三、形如=f()的方程，其中f(u)為u的連續(xù)函數(shù)

作變量變換u=，則=nyn-1xm+mxm-1yn=[nf(u)-mu]/x即為變量分離方程。

四、形如=P(x)y+Q(x)(Q(X)≠0)的方程，通解為y=ue∫P(x)dx這里為任意常數(shù)

作變換u=u(x)，則=e∫P(x)dx+u(x)P(x)e∫P(x)dx=P(x)u(x)e∫P(x)dx+Q(x)，解此方程，最后代回原變量得到方程的通解為y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e-∫P(x)dxdx+)。

五、形如=f()的方程，其中≠，c1，c2不全為零

作坐標(biāo)變換令，則==g()求解此方程，最后代回原變量即可得到原方程的解。

六、形如M(x，y)（xdx+ydy）+N（x，y）(xdy-ydx)=0的方程，其中M，N為x，y的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同

作極坐標(biāo)變換令x=ρcosθ，y=ρsinθ（ρ#1051880;0，θ∈［0，2π］），則原方程變?yōu)镸(ρcosθ，ρsinθ)ρdρ+N(ρcosθ，ρsinθ)ρ2dθ即為變量分離方程。

七、形如y=f(x，)的方程的解法

這里假設(shè)函數(shù)f(x，)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，引進(jìn)參數(shù)=P，則變?yōu)閥=f(x，p)，對(duì)兩邊x求導(dǎo)數(shù)并以=P代入，得到P=+①若求得①式通解形如為p=#981;(x，c)，將它代入f=f(x，p)即可得到原方程的解。若求得①式通解形式為x=ψ(p，c)，則得到原方程的通解為x=ψ(p，c)

y=f(ψ(p，c)，p)，c是任意常數(shù)。若求得①式的通解形式為Φ(x，p，c)=0，則得到的原方程的通解為Φ=(x，p，c)

y=f(x，p)，c為任意常數(shù)。

八、形如F(x，y′)=0的方程

從幾何的觀點(diǎn)看，F(xiàn)(x，p)=0代表QXP平面上的一條曲線，設(shè)把這曲線表為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式x=#981;(t)

y=ψ(t)，這里t為參數(shù)，再注意到，沿方程F(x，y′)=0的任何一條積分曲線上恒滿足基本關(guān)系dy=pdx，把x=#981;(t)

y=ψ(t)代入上式得dy=ψ(t)#981;′(t)dt，兩邊積分得到y(tǒng)=∫ψ(t)#981;′(t)dt+c，則得到方程的參數(shù)形式的通解為y=∫ψ(t)#981;′(t)dt+c，c為任意常數(shù)。