數(shù)頻分形守恒定律

摘要：數(shù)頻分形守恒定律表明了當今的分形理論已由矛盾的數(shù)學區(qū)域進入到科學領域， 它進一步豐富并奠定了數(shù)頻科學內(nèi)容和基礎， 繼續(xù)引領世界數(shù)學分形理論向科學理論規(guī)范化的主流發(fā)展.

關鍵詞：數(shù)頻分形守恒定律；分形理論； 科赫（koch）曲線

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（c）-0000-00

今天，數(shù)頻分形守恒定律的誕生面世，標志著當今十分風靡和活躍于世界的分形理論開始有了科學的基礎，開始有了數(shù)頻科學的規(guī)范. 既然美國物理學大師約翰·惠勒講：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人，那么今后誰不研究掌握數(shù)頻分形守恒定律，無異于是分形科學上的盲瞽者，正如離開牛頓的力學而妄談力一樣不置可否.

數(shù)頻分形科學建立在n→∞， lim1/n≠0的定律上，而當今仍以美籍法國數(shù)學家曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）首先提出的分形理論為代表則是建立在n→∞，lim1/n=0這一悖論基礎上，其中科赫曲線又名雪花分形曲線的結論“雪花分形的周長無窮大而包圍的面積卻是有限的”就是曾經(jīng)長期存而未解決的典型悖論之一.現(xiàn)在看來，這一悖論在于違背了數(shù)頻分形守恒定律所致. 作為n→∞，lim1/n≠0定律的一個應用，有下面的數(shù)頻分形守恒定律.

數(shù)頻分形守恒定律 單位量可以無窮分形而成的單位點之極限和等于單位量，也可以有限次分完且所有分形的單位點之和等于單位量.

所謂單位點就是單位量上任意一點，單位量雖然可任意分，但這些所有分點的和等于單位量.這就表明單位量可無窮分的極限就是單位點而終止.否則單位點若繼續(xù)可無窮分就會出現(xiàn)所有的分點之和將超過單位量，或者單位點為零，這都與單位量是標量相矛盾.

記為n →∞， n lim1/n=1≠0.

數(shù)頻單位測不準原理 單位是標量，單位點是測不準的標量.

單位量可以一分為二而分完，也可以一分為三而分完，……，這恰恰表明單位點無論多么小都不為零，單位量可被分完的點或線或體等都是以不同單位點而終止.事實上，直線上任一點和它彎曲后的任一點沒有區(qū)別，在n→∞時，lim（1/3）^n與lim（1/4）^n也沒有單位點的區(qū)別.單位量分的次數(shù)越少，那么分量距離單位點差別就越大；反之，次數(shù)越多分量就接近單位點，但次數(shù)就越不精確.數(shù)頻單位點就是不因分量次數(shù)變化時而無實質(zhì)變化的點，或稱為單位點的區(qū)域.只要進入或接近單位點區(qū)域則只有次數(shù)的變化而無實質(zhì)的點變化.例如單位線段一分為二后，將其中一半再次一分為二，依次進行，……，在n=40時就接近端點無法進行，這與n=400時的情形一樣無法進行，……，在實際意義上，可以將有限次的分量而無實際大小區(qū)別的單位點等同于它的極限單位點.例如圓周率Π就是取它的有限值來近似取代，盡管Π是無窮不循環(huán)小數(shù)，但它是標量，而且是單位數(shù)頻圓的周長.見本人發(fā)表在2014年4月份的半月刊《數(shù)學學習與研究》里《數(shù)頻科學之數(shù)頻圓》一文.

附： n→∞，lim1/n≠0見本人發(fā)表在2014 年4月份的半月刊《數(shù)學學習與研究 》中《數(shù)頻科學之數(shù)頻微積分》一文里證明. 這里簡介已發(fā)表的交錯級數(shù)的數(shù)頻表達式： Ln2=1-1/2+1/3-1/4+…+[（-1）^（n-1）]1/n+…=1/（n+1）+1/（n+2）+1/（n+3）+…+1/2n+…， n→∞.

科赫曲線它最早出現(xiàn)在海里格.馮.科赫的論文《關于一條連續(xù)而無切線可由初等幾何構作的曲線》（1904年）.科赫曲線是de Rham 的曲線特例.

1. 給定線段AB，科赫曲線可由以下步驟生成； 2. 將線段AB分成三等份，（AC，CD，DB）； 3. 以CD為底，向外畫一個等邊三角形DMC； 4.將CD移去，分別對AC，CM，MD，DB重復以上1～3步驟. 科赫雪花是以等邊三角形的三邊生成的科赫曲線組成的，科赫雪花的面積是[2﹙3﹚?﹙s﹚/5] ，其中s是原來三角形邊長，每條科赫曲線的長度無限長，它是連續(xù)而無處可微的曲線，“無窮大”的邊界包圍者有限的面積. 如果不加科學分析地來看，這一悖論是十分合理的數(shù)學問題，其實不然.

由此設科赫單位線段S=1，零次分形L（0）=1； N=1， S（1）=1/3， L（1）=4/3； N=2， S（2）=1/9，

L（2）=﹙4/3﹚^2； N=3， S（3）=﹙1/3﹚^3，L（3）=﹙4/3﹚^3 ；……； N=n， S（n）=（1/3）^n， 第N次分形曲線長之和L（n）=﹙4/3﹚^n. 科赫曲線的悖論在于n→∞，S（n）=（1/3）^n等于零還是不為零.如果n→∞，S（n）=（1/3）^n=0， 那么在n→∞時每次分形新增加的邊長的和為零，這表明其和極限為零，從而科赫曲線極限為零，即在n→∞，L（n）→0，這是不可能的； 如果n→∞， S（n）=（1/3）^n≠0， 那么無窮分形的極限就是單位點而且這些單位點之和等于單位1而終止，即符合數(shù)頻分形守恒定律，這同樣表明科赫曲線的分形長度是存在極限的.這就揭示了科赫曲線的悖論實質(zhì)在于n→∞， lim1/n=0的不科學.

事實上，根據(jù)科赫曲線的畫法及圖形，可知在n=6次時的三角分形十分趨于一單位點， 6次以后的分形漸漸只有次數(shù)而無實質(zhì)的分形進展，根據(jù)數(shù)頻分形守恒定律知，分形的極限就是單位點而終止， 因此科赫曲線的整體面積是一定值，整體圖形也是一定值，由此雪花分形的結構與圖形都是有限而且是最終穩(wěn)定的.既不是趨于零也不是無窮大. 在現(xiàn)實意義上，n=8時的雪花分形的面積十分接近它的分形極限的面積，n=8時的分形周長十分接近它的分形極限的周長，因此科赫雪花曲線可以用（例如n取8次時的分形等接近單位點）的有限圖形來近似取代. 例如圓周率Π就是取它的有限近似值來代替，盡管Π是無窮不循環(huán)的小數(shù).

重要的是，科赫曲線分形的面積是有極限的，它決定了它的周長L（n）=（4/3）^n在n比較大時，它是收斂的，不等到n趨于無窮大時即為單位點時已經(jīng)結束，這取決于n 比較大時， S（n）=lim（1/3 ）^n收斂并趨于零很快，或者趨于單位點很快而終止分形. N次數(shù)看起來無窮多，但取決于S（n）=lim（1/3）^n的收斂到單位點的進程.N=8時S（8）=（1/3）^8的收斂點就和單位點難以分清.這就是科赫曲線及雪花分形在有限次分形時而穩(wěn)定的原因. 科赫曲線的分形長是無窮的而面積是有限的這一悖論與它們的圖形是穩(wěn)定的相矛盾.

最后，科赫雪花分形的面積和周長都是有限的，都在該正三邊形所外接圓內(nèi).如果移去雪花曲線，其面積局限于圓周內(nèi).

總之，分形具有無窮的趨勢，但受制于和它共同遵守的數(shù)頻規(guī)律--單位分形守恒定律，不可能無條件的無窮復制而無終止.以科赫曲線為例，就是只看到無窮的分形，忽視了分形趨于分形單位點而終止的制約.數(shù)頻科學這一成果及時挽救了分形理論的嚴重數(shù)學危機，使之回歸到數(shù)頻科學的主流發(fā)展上來，適合、促進并遵守數(shù)頻科學建立的新秩序.數(shù)頻科學的產(chǎn)生，形成和發(fā)展是劃時代的科學，完全是自力更生的創(chuàng)新，是使充滿危機的世界經(jīng)典數(shù)學開始向數(shù)頻科學重點的跨越，為后續(xù)科學的發(fā)展提供完整科學的理論保障，從而引領當前世界數(shù)學向數(shù)頻科學發(fā)展的主流.

參考文獻

[1]. B.B.Mandelbrot the Fractal Geometry of nature [M] San Francisco ；Freeman，1982 9-17.

[2]. 李尚志，數(shù)學實驗[M].北京 高等教育出版社.1999

作者簡介：吳合法，男，漢族，1972年10月2日出生，籍貫：山東省單縣終興鎮(zhèn)吳集村，大專，主要研究方向，數(shù)頻論，光的數(shù)頻定律，數(shù)頻微積分等等