淺析從一題多解談高中數(shù)學(xué)的發(fā)散思維

摘 要：數(shù)學(xué)不單單是一種技巧的學(xué)科，也是學(xué)習(xí)者的一種思維能力的綜合體現(xiàn)形式，針對(duì)數(shù)學(xué)題來講，往往有很多種解法。對(duì)于學(xué)生解題來說，一題多解的方式還沒有深入其思想中，怎樣能盡快找到解決問題的方法是關(guān)鍵，準(zhǔn)確快速的解題能力具有著極大的重要性。因此本文將針對(duì)例題的多種解法講解，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 一題多解 發(fā)散思維

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）03（c）-0161-02

學(xué)生在小學(xué)初中都接觸過數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)是學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的繼續(xù)，也就是說，高中數(shù)學(xué)是學(xué)生在以往學(xué)過的數(shù)學(xué)學(xué)科的延伸與升華。在解題時(shí)，要根據(jù)題目的多種角度進(jìn)行觀察并且分析題目，綜合使用各種方法，找到解題思路，加強(qiáng)學(xué)生的解題能力，提高學(xué)習(xí)的思維質(zhì)量，才能更好的提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。因此本文將針對(duì)具體例題具體分析，根據(jù)例題的多種解題方法和思路進(jìn)行分析，進(jìn)一步探討學(xué)生的創(chuàng)新思維的表現(xiàn)，從而加強(qiáng)學(xué)生的多種解題的發(fā)散思維。

1 一題多解

例1：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)（-1，0），是否存在常數(shù)a、b、c，可以使不等式x≤f（x）≤（1+x2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？

分析：此題為探索性的題目，因此要根據(jù)題目條件分析出a、b、c之間的關(guān)系，再根據(jù)不等式的恒成立條件從而得出解題方法。根據(jù)不同的各種觀察角度與分析以及題設(shè)的條件進(jìn)行解題，提供了兩種解題方法。

解法一：因?yàn)?，函?shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像為拋物線圖像且過點(diǎn)（-1，0），

所以，a-b+c=0.此為方程式（1）。

又因?yàn)?，x≤f（x）≤（1+x2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，令x=0，則有0≤c≤；令x=1，則有1≤a+b+c≤1，

所以a+b+c=1，此為方程式（2）

因此，由（1）（2）得出b=，c=-a

所以，0≤-a≤，所以，0≤a≤

將b=，c=-a.代入公式x≤f（x）≤（1+x2）中，可以得出以下不等式組：

的解集為R

當(dāng)a=0或時(shí)，上述不等式組不能對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，所以，0

再由△1=1-8a（1-2a）≤0，△2=1-8a（1-2a）≤0得出（4a-1）2≤0

所以a=c=

綜上所述，存在a=c=，b=，使不等式x≤f（x）≤（1+x2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

解法二：因?yàn)?，x≤f（x）≤（1+x2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，

所以f（x）的圖像一定在g（x）=x和h（x）=（1+x2）的圖像之間。

已知g（x）和h（x）的圖像相切于點(diǎn)p（1，1），因此f（x）與h（x）的圖像也必定切于p（1，1），從而得到以下方程組。

僅有一組解為

也就是一元二次方程f（x）-x=0有兩個(gè)根x1=x2=1，

所以，f（x）-x=a（x-1）2即f（x）=a（x-1）2+x

又因?yàn)閒（-1）=0所以a=，從而有f（x）=x2+x+，

綜上所述可知，存在a=c=，b=，使不等式x≤f（x）≤（1+x2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

例2：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。

分析一：可根據(jù)不同方法進(jìn)行不同分析，本文此題的解決方法將列舉4種，針對(duì)第一種方法進(jìn)行分析，因?yàn)榍笾本€與拋物線的相交問題，因此可通過聯(lián)立方程組求解的方式解交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解。

解法一：如圖1，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，0），所以直線AB的方程為y=x-1為①方程式。

將方程①代入拋物線方程y2=4x，得

（x-1）2=4x化簡(jiǎn)得出x2-6x+1=0

解得：

將x1，x2的值分別代入方程①中，得

即A、B坐標(biāo)分別為、。

所以，

分析二（弦長(zhǎng)公式法）：先將方程組聯(lián)立，然后通過利用直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式

解法二：如圖1，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，0），所以直線AB的方程為y=x-1為①式，

將方程①代入拋物線方程y2=4x中，

得（x-1）2=4x化簡(jiǎn)得x2-6x+1=0

分析三（數(shù)形結(jié)合法）：考慮到直線恰好過焦點(diǎn)，所以可與拋物線定義發(fā)生聯(lián)系，通過利用拋物線定義，將AB分段轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A、B到準(zhǔn)線距離，可以達(dá)到解題的目的。

解法三：在圖1中，由拋物線的定義可知，丨AF丨等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離

同理，于是得丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=x1+x2+2

由此可以看到，本題在得到方程x2-6x+1=0后，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以直接得到x1+x2=6。

于是可以求出丨AB丨=6+2=8

分析四（參數(shù)方程法）：通過利用所學(xué)的參數(shù)方程知識(shí)，用直線的參數(shù)方程與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，利用丨AB丨=丨t1-t2丨進(jìn)行計(jì)算。

解法四：如圖1，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），直線的傾斜角為，所以直線AB的方程的參數(shù)方程為

聯(lián)立參數(shù)方程與拋物線方程y2=4x得整理：

所以

因此可見，一道數(shù)學(xué)題的解題并不是只有一種方法，大多的數(shù)學(xué)題目都是有多種解法存在的。因此，培養(yǎng)學(xué)生的一題多解能力很重要，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維成了教師和學(xué)校思考的問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維對(duì)學(xué)生以后的人生有著重大影響意義。

2 訓(xùn)練發(fā)散思維的方法

經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量與學(xué)生的發(fā)散思維相關(guān)，這就為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維創(chuàng)造了良好的條件，因此可通過以下方法來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2.1 運(yùn)用公式定理活躍思路

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中學(xué)生們會(huì)接觸很多的數(shù)學(xué)公式以及數(shù)學(xué)定理，雖然都是“死”公式，但是學(xué)生在運(yùn)用公式的時(shí)候可以做到“活”用，打開自己的思路來面對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題，只有靈活運(yùn)用公式才能更好的解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的數(shù)學(xué)難題。教師從公式的多種變化運(yùn)用來引導(dǎo)學(xué)生使用發(fā)散思維進(jìn)行解題，要求學(xué)生必須抓住解題思路，不應(yīng)該盲目的胡思亂想，要將公式作為核心和依據(jù)。因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維之前，首先要對(duì)基礎(chǔ)的教學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，更好的為學(xué)生提升自己的學(xué)習(xí)能力打下良好的基礎(chǔ)。

2.2 經(jīng)典例題的深度反思

教師在使用經(jīng)典案例對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)的過程中，要深度反思此題目對(duì)學(xué)生的思維影響，讓學(xué)生在多種提前條件下運(yùn)用公式、定理。在例題的反思過程中，首先要先讓學(xué)生了解題目設(shè)置的變量與常量，理解例題的適用條件和范圍之后進(jìn)行解題，還要讓學(xué)生對(duì)多種例題進(jìn)行對(duì)比從而來培養(yǎng)學(xué)生的多種思考角度，深入了解題目?jī)?nèi)容，抓住解題思路，有助于學(xué)生更好的培養(yǎng)發(fā)散思維。

3 鼓勵(lì)一題多解思考方式

對(duì)于相同答案的題目，通過不同的解法進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)課堂的活躍性。對(duì)于學(xué)生來講，通過多種方法來解同一道題目會(huì)比單一的方法解多種題目的效果還好，因此，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解可以幫助學(xué)生更好的去理解數(shù)學(xué)公式以及能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解題，還可以幫助學(xué)生養(yǎng)成一種善于思考善于探索的良好習(xí)慣，同時(shí)可以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣并培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)習(xí)能力。

4 尋求最便捷的解題方法

運(yùn)用發(fā)散性思維的第一步就是找到一題多解的方法，教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生精益求精，找到最便捷的解題方案做到一題巧解。對(duì)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)掌握與全面理解是學(xué)生善于發(fā)散思維的基礎(chǔ)，通過多種思路進(jìn)行快速的篩選與鑒別從而選擇更便捷的方案進(jìn)行解題。

5 善解題意并嘗試一題多變

由于數(shù)學(xué)題的題目相對(duì)較于抽象，學(xué)生們很難理解出題者的題意，給學(xué)生解題帶來了很大的困難。因此，教師培養(yǎng)學(xué)生們的領(lǐng)會(huì)題意的能力非常重要，為了更好的訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，通過一題巧解的方法進(jìn)行解題也很重要。但是，這樣做將往往會(huì)把學(xué)生放在了一個(gè)回答者的位置上，訓(xùn)練學(xué)生更好的領(lǐng)會(huì)題意的方法是培養(yǎng)學(xué)生的一題多變思維即讓學(xué)生在放松狀態(tài)下進(jìn)行解題，這種思維主要是學(xué)生通過熟悉的數(shù)學(xué)題題目改變題目條件和前提條件，為基礎(chǔ)來創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)題目。

6 通過運(yùn)用教育素質(zhì)提高思維能力

教師可以通過引入素質(zhì)教育來提高課堂的活躍氣氛引起學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生們感覺數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。教師也可以根據(jù)有趣的教學(xué)課堂來側(cè)面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況以及根據(jù)學(xué)生在課堂中的表現(xiàn)，做下一步的教學(xué)計(jì)劃，從而增強(qiáng)學(xué)生的自身能力與自身素質(zhì)的提高。

7 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用一題多解的方法，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維對(duì)學(xué)生以后的成長(zhǎng)有著至關(guān)重要的作用，還可以培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣與學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著重要的影響并通過一題多解來尋找高中數(shù)學(xué)的解題興趣，提高自身的解題能力。同時(shí)，發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的一種重要表現(xiàn)形式，了解、掌握創(chuàng)新思維，可以更好的靈活運(yùn)用發(fā)散思維，從而提高學(xué)生的自身學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)

[1]沈人干.展拓學(xué)生的思維空間和層次[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（6）.

[2]王淑英.淺談一題多解對(duì)培養(yǎng)思維能力的作用[J].東疆學(xué)刊，2010（7）.

[3]俞恃洋.淺議“一題多解與能力培養(yǎng)”的教學(xué)[J].曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（4）.