談二次函數(shù)解題方法

平時(shí)在做函數(shù)解答題時(shí)，你是否留意過(guò)?？嫉暮瘮?shù)有哪些?你總結(jié)過(guò)以這些函數(shù)為考查主體的函數(shù)解答題的求解技巧嗎?處處留心皆學(xué)問(wèn)，時(shí)時(shí)答題要總結(jié).如果這部分內(nèi)容還是你復(fù)習(xí)的死角和盲區(qū)，那就認(rèn)真看看老師們給出的錦囊妙計(jì)吧!

高考對(duì)二次函數(shù)的考查主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是對(duì)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)本身的考查，包括二次函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖像的對(duì)稱(chēng)性等；二是對(duì)二次函數(shù)與其他知識(shí)交匯問(wèn)題的考查，包括二次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)、不等式等知識(shí)的交匯.

一、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題

例1 已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求a的值.

解 函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a =-（x-a）2+a2-a+1，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=a.

①當(dāng)a<0時(shí)，f（x）在[0，1]上遞減.∴ fmax（x）= f（0）=1-a =2.∴a =-1.

②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）在[0，a）上遞增，在[a，1]上遞減.∴ fmax（x）= f（a）=a2-a+1=2.∴a =（舍去）.

③當(dāng)a>1時(shí)，f（x）在[0，1]上遞增.∴ fmax（x）= f（1）=a.∴a =2.

綜上可知，a=-1或a=2.

小結(jié) 影響二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的因素有拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸的位置以及給定的區(qū)間，同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.如果拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸的位置或給定的區(qū)間不確定，就需要進(jìn)行分類(lèi)討論.

二、二次函數(shù)圖像的應(yīng)用

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）.若y= f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），請(qǐng)證明下列結(jié)論：

當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2>0，y1+ y2<0；當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2<0，y1+ y2>0.

證明（證法1）令 =ax2+bx，則1=ax3+bx2（x≠0）.設(shè)F（x）=ax3+bx2，則F′（x）=3ax2+2bx.令F′（x）=3ax2+2bx=0，則x=-.要使y= f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，只需F（-）=a（-）3+b（-）2=1，整理得4b3=27a2，于是可取a=±2，b=3來(lái)研究.當(dāng)a=2，b=3時(shí)，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2=，此時(shí)y1=-1，y2=2，則x1+x2<0，y1+ y2>0；當(dāng)a=-2，b=3時(shí)，-2x3+3x2=1，解得x1=1，x2=-，此時(shí)y1=1，y2=-2，則x1+x2>0，y1+ y2<0.

（證法2）令f（x）= g（x），得 =ax+b.設(shè)y′=，y′′=ax+b，不妨設(shè)x10時(shí)，如圖1所示.此時(shí)|x1|> |x2|，即-x1>x2>0，此時(shí)x1+x2<0，y2= >- =-y1，即y1+ y2>0.同理，由圖2經(jīng)過(guò)推理可得當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2>0，y1+ y2<0.

小結(jié) 對(duì)二次函數(shù)圖像的運(yùn)用，同學(xué)們應(yīng)主要從兩個(gè)方面來(lái)考慮：一是定性分析，確定圖像的上升（下降）趨勢(shì)；二是定量計(jì)算，將圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題來(lái)處理.

三、三個(gè)“二次”的交匯問(wèn)題

例3 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）< c的解集為（m，m+6），求實(shí)數(shù)c的值.

解 由于f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），所以f（x）的圖像與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn).于是有Δ=a2-4b=0，即b=.所以f（x）=x2+ax+b=x2+ax+ =（x+）2.

由f（x）=（x+）2由于不等式f（x） 小結(jié) 本題利用判別式，結(jié)合圖像將二次函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為系數(shù)a，b的關(guān)系，再通過(guò)配方，得到一元二次不等式的解集.函數(shù)圖像和判別式是聯(lián)系二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式的紐帶，當(dāng)三者之間的關(guān)系需要轉(zhuǎn)化時(shí)，要結(jié)合圖像，利用判別式來(lái)處理.

四、二次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f（x）= x3+（1-a）x2-3ax+1，a>0.

（1）證明：對(duì)于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤ f（x）≤1.

（2）設(shè)（1）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值.

（1）證明：由于 f ′（x）=3x2+3（1-a）x-3a =3（x+1）#8226;（x-a），且a>0，所以f（x）在[0，a）上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增.

又f（0）=1，f（a）=- a3- a2+1=（1-a）（a+2）2-1，所以

當(dāng)f（a）≥-1時(shí)，取p=a，此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤ f（x）≤1成立.

當(dāng)f（a）<-1時(shí)，由于f（0）+1=2>0，f（a）+1<0，所以存在p∈（0，a），使得f（p）+1=0.此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f（x）≤1成立.

綜上可知，對(duì)于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤ f（x）≤1.

（2）解：由（1）可知f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a）.

當(dāng)0a的實(shí)根，即2p2+3（1-a）p-6a=0滿(mǎn)足p>a的實(shí)根，所以g（a）=.

又g（a）在（0，1]上單調(diào)遞增，故gmax（a）=g（1）=.

當(dāng)a>1時(shí)，f（a）<-1.由于f（0）=1，f（1）=（1-a）-1<-1，所以[0，p]?奐[0，1].此時(shí)，g（a）≤1.

綜上所述，g（a）的最大值為.

小結(jié)

本題的第一問(wèn)對(duì)三次函數(shù)求導(dǎo)后，得到的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，該二次函數(shù)的正負(fù)決定三次函數(shù)的單調(diào)性；本題的第二問(wèn)確定g（a）的解析式主要是通過(guò)求二次方程的根進(jìn)行的，而研究g（a）的性質(zhì)則主要是通過(guò)對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的分析進(jìn)行的.