淺談變速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件

圓周運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)。做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受的合力與速度不共線（或者說它們之間有一定夾角⊙，且00<⊙<1800），如圖1，O是物體做圓周運(yùn)動(dòng)圓心，F(xiàn)是其受到的合力，根據(jù)F產(chǎn)生的效果可以將其分解為兩個(gè)相互垂直的分力：跟圓周相切的切向分力Ft和指向圓心方向的法向分力Fn。Ft產(chǎn)生的是沿圓周切線方向的加速度，即切向加速度at。它與物體速度方向一致，用來改變物體速度的大小，改變物體的動(dòng)能，對(duì)物體做功。Fn產(chǎn)生的是沿半徑指向圓心的加速度，即法向加速度an。它與物體速度方向垂直，其表現(xiàn)是只改變物體速度的方向，不改變物體的動(dòng)能，對(duì)物體不做功。由此可以得出：

只有an的圓周運(yùn)動(dòng)是勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。

既有an又有at的圓周運(yùn)動(dòng)是變速圓周運(yùn)動(dòng)。

下面來分析求解幾種變速圓周運(yùn)動(dòng)模型的臨界條件

（一）繩模型：

用一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2，不計(jì)空氣阻力，求小球到達(dá)最高點(diǎn)A的臨界速度。

解析：由于繩對(duì)小球不會(huì)產(chǎn)生支撐力，只能產(chǎn)生沿著繩指向圓心的拉力，所以小球在A點(diǎn)的受力如圖（a）；

由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律：G+F=mv2/L ------- ①

對(duì)①式分析知，當(dāng)繩上的拉力F剛好等于零時(shí)，小球在最高點(diǎn)A的速度有最小值，即 V= 。我們把這個(gè)速度稱為小球恰能通過最高點(diǎn)的臨界速度V臨界= 。

由臨界速度我們可以推得：

0

v> 時(shí)，繩對(duì)小球產(chǎn)生的是沿繩指向圓心的拉力F，F(xiàn)隨v的增大而增大。

下面我們?cè)賮砜串?dāng)小球恰能通過最高點(diǎn)A時(shí)，相應(yīng)的來到最低點(diǎn)B時(shí)的速度VB和此時(shí)繩上產(chǎn)生的拉力FB怎樣求？那這個(gè)速度和拉力有什么特點(diǎn)？小球在B點(diǎn)的受力如圖（b）；

根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律：FB-G =mVB2/L ------- ②

又因小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，只受重力和繩的拉力，拉力始終沿繩指向圓心，對(duì)小球不做功，只有重力做功，滿足機(jī)械能守恒。選B點(diǎn)所在處為零勢(shì)面，由機(jī)械能守恒： 2＋mg.2L= mVB2------- ③

由②③求得：VB=

FB =6mg

由上面的求解過程知道：這個(gè)速度和拉力是小球能夠做圓周運(yùn)動(dòng)情況下，在B點(diǎn)的最小速度和拉力。

（二）桿模型：

如圖3，用一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，在其末端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，使其繞圓心O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，求小球在最高點(diǎn)A的臨界速度。

解析：桿不同與繩的是它既可以產(chǎn)生豎直向上的彈力，也可以產(chǎn)生沿著桿指向圓心的拉力，所以小球在最高點(diǎn)A的受力可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況，即圖（c）、（d）。在圖（c）中，小球在A點(diǎn)的向心力由重力G和桿對(duì)小球豎直向上的彈力F1的合力來提供。即：G – F1 =mv2/L ---------- ④

在圖（d）中，桿對(duì)小球產(chǎn)生的是沿著桿指向圓心的拉力，即G＋F2= =mv2/L ------------- ⑤

由④⑤兩式分析得到，當(dāng)F1=G時(shí)，V=0，是小球到達(dá)最高點(diǎn)A的最小速度，即小球恰能通過最高點(diǎn)的臨界速度V臨界=0。

當(dāng)F1=F2=0時(shí)，V= 。此時(shí)桿對(duì)小球既不拉也不壓，只有重力來提供小球在A點(diǎn)需要的向心力。

由此我們可以得到小球在最高點(diǎn)的速度和桿對(duì)小球產(chǎn)生的力有以下規(guī)律：

0≤V﹤ 時(shí)，桿對(duì)小球產(chǎn)生的是豎直向上的彈力F，F(xiàn)隨V的增大而減小，且

0＜F≤G。

V= 時(shí)，桿對(duì)小球無力的作用，只有重力提供小球所需要的向心力。

V＞ 時(shí)，桿對(duì)小球產(chǎn)生的是沿著桿指向圓心的拉力F，F(xiàn)隨V的增大而增大，且F＞0

同樣，當(dāng)小球在A點(diǎn)的速度為零時(shí)，它運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)有最小速度VB和繩對(duì)小球的最小拉力FB，設(shè)B點(diǎn)為零勢(shì)面，根據(jù)機(jī)械能守恒和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：

0+mg2L= mVB2------------- ⑥

FB-G= mVB2/L ------------- ⑦

由⑥⑦兩式得：VB=2gL FB＝5mg

通過以上對(duì)桿、繩模型的分析求解可知，變速圓周運(yùn)動(dòng)中只有重力做功時(shí)，物體由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程滿足機(jī)械能守恒，同時(shí)結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就可以求解最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的相關(guān)物理量。例如設(shè)質(zhì)量為m的物體在最高點(diǎn)的速度為V1，繩（或桿）上的彈力為F1，在最低點(diǎn)的速度為V2，繩（或桿）上的彈力為F2，則有：

mV12＋mg.2R= mv22（R為物體所做的圓周的半徑）

G+F1= mV12

F2－G= mV22

以上這三個(gè)方程涉及到四個(gè)物理量，但只要知道其中一個(gè)就可以根據(jù)方程求得另外的三個(gè)。

例題：長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.50m的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端有質(zhì)量為m＝3.0kg的小球，如圖4，小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過最高點(diǎn)時(shí)小球的速率2.0m/s，g取10m/s2，則此時(shí)細(xì)桿OA受到（）

A6.0N的拉力B6.0N的壓力C2.4N的拉力D2.4N的壓力

解析：首先確定這是桿模型，其次題目給定圓周運(yùn)動(dòng)的半徑L，故可以求出：V＝ ＝ m/s＝ m/s

再次判定小球在最高點(diǎn)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)速率處于哪個(gè)范圍：

∵ 0<2.0m/s< m/s

即0<2.0m/s< m/s

∴ 在最高點(diǎn)時(shí)桿對(duì)小球產(chǎn)生的是豎直向上的彈力，根據(jù)牛頓第三定律小球?qū)U產(chǎn)生的是沿桿指向圓心O的壓力，由此排除A、C

對(duì)小球在最高點(diǎn)受力分析，如圖（e），根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：

G – F =mv2/L

則 F= G –mv2/L=（3.0*10- ）N＝6.0N

答案：B

（三）管道模型：

如圖5所示，管道半徑為R，小球質(zhì)量為m半徑為r，且r<

V≥ 時(shí)：小球受到管道外壁下側(cè)對(duì)其產(chǎn)生的沿半徑指向圓心的彈力F，且F的大小隨V的增大而增大，F(xiàn)的取值范圍F≥0，其中V= 時(shí)，“＝”取得。

管道是集桿和繩于一體的模型，情況相對(duì)較復(fù)雜，從以上的分析看，處理這類問題時(shí)關(guān)鍵是理清題目思路，對(duì)運(yùn)動(dòng)物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)列出滿足條件的方程。在此提示大家繩和桿的區(qū)別：繩可以拉，但一定不會(huì)壓；桿可拉可壓，也可以不拉不壓。