征服圓錐曲線解答題的有效策略探究

【摘要】圓錐曲線主要由三部分組成即為橢圓、雙曲線和拋物線，其定義為到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線。在高考中，圓錐曲線是十分重要的內(nèi)容，從歷年的高考試卷分析，圓錐曲線所占的分值還是很大的，并且圓錐曲線能與其他知識相互串聯(lián)起來和實(shí)際問題串聯(lián)起來，使得其綜合性較強(qiáng)，這給學(xué)生的解題能力帶來更高的要求。本文對圓錐曲線解答的方法進(jìn)行了分析，提出了一些有效的建議。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；橢圓；拋物線；雙曲線

0.引言

在學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的過程中，很容易對圓錐曲線的概念出現(xiàn)混淆。另外學(xué)生對一些綜合性的圓錐曲線大題不能夠進(jìn)行妥善的分析，抓不到解題中的關(guān)鍵點(diǎn)，特別是某些圓錐曲線大題會(huì)與實(shí)際生活中的一些問題串聯(lián)起來，從客觀上來說，這些題目的難度并不會(huì)特別大，但是學(xué)生由于缺乏一定的建模思維，因此在解題的過程中總是感覺很棘手。在歷年高考中，圓錐曲線都是重點(diǎn)內(nèi)容，因此加強(qiáng)學(xué)生對圓錐曲線的理解，提高學(xué)生的圓錐曲線能力對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是很有意義的[1]。

1.學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線中容易出現(xiàn)的問題

圓錐曲線一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，但是只要通過妥善的方法還是能夠?qū)⑵涔タ讼聛淼摹：芏鄬W(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候，沒有將圓錐曲線的知識點(diǎn)貫穿起來。圓錐曲線作為解析幾何中的一個(gè)重要分支，已經(jīng)形成了一個(gè)較為完整的體系。橢圓、拋物線、雙曲線之間都存在著一定的聯(lián)系，既存在著不同，又存在著相似，而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中只是單獨(dú)地對橢圓、拋物線、雙曲線進(jìn)行分別的學(xué)習(xí)，沒有將三者進(jìn)行關(guān)聯(lián)，因此在解決一些綜合性的大題的時(shí)候會(huì)遇到很大的阻礙。很多學(xué)生沒有掌握圓錐曲線的解題思想，其實(shí)教材中的“點(diǎn)的軌跡”、“圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”都是解題思想的側(cè)面反映，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中卻沒有重視。另外學(xué)生并未重視圓錐曲線定義的學(xué)習(xí)，不能將圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓錐曲線的圖像進(jìn)行良好的結(jié)合，甚至部分同學(xué)對于a、b、c的定義也了解。舉例來說，“雙曲線過點(diǎn)A（3，5）”其實(shí)這是解題過程中一個(gè)很有用的條件，可以很清晰地判斷出該點(diǎn)是在雙曲線上的，并且其坐標(biāo)也是滿足雙曲線方程的，但是學(xué)生在解題的過程中卻往往忽視這個(gè)條件，于是學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“無從下手的感覺”[2]。

2.圓錐曲線解答題的有效策略

2.1對圓錐曲線軌跡方程的解析

在圓錐曲線軌跡方程的解題過程中要遵循的步驟如下：對題目中的條件進(jìn)行相應(yīng)的分析，扣住關(guān)鍵點(diǎn)，并構(gòu)建出相應(yīng)的直角坐標(biāo)系→題目要求什么就設(shè)什么，即設(shè)曲線上的某一點(diǎn)A（x，y）→根據(jù)設(shè)立的點(diǎn)A（x，y）構(gòu)建出相應(yīng)的等式。其中第三步是整個(gè)解題過程中的核心，在求等量關(guān)系的過程中一般會(huì)采用一下的方法：（1）坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法。坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法其主要內(nèi)容是通過建立與條件相關(guān)的坐標(biāo)公式、定比分點(diǎn)公式以及向量關(guān)系來進(jìn)行求解。（2）直接法。直接法是根據(jù)點(diǎn)與線、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離來得出等式關(guān)系。（3）參數(shù)方程法。這是一種較為特殊的方法，先假設(shè)出與題目相關(guān)的參數(shù)方程，再根據(jù)題目中給出的固定點(diǎn)信息或者是關(guān)系信息來對這些參數(shù)進(jìn)行消除，即可以得到所求的圓錐軌跡方程。（4）結(jié)合基本定義對題目進(jìn)行求解，也就是我們所說的待定系數(shù)法。通過以下實(shí)例對圓錐曲線軌跡方程進(jìn)行相應(yīng)的講解[3]。

在△ABC中，AC、AB上的兩條中線長度之和為39，BC=24，求△ABC重心的軌跡方程。該題目是將圓錐曲線與三角知識進(jìn)行了結(jié)合，扣住中垂線、重心等關(guān)鍵字眼利用曲線的相關(guān)定義來進(jìn)行解析。設(shè)BC所在的直線為x軸，以中垂線BC為y軸建立符合題意的直角坐標(biāo)系如圖1所示。M是該三角形的重心，于是可以得到以下關(guān)系：▏BM▕+▏CM▕= x39=26，通過以上等式就能夠說明點(diǎn)M的軌跡實(shí)際上是B，C為焦點(diǎn)的橢圓。那么a=13，c=12，b= =5。故所求的重心軌跡方程為 （y≠0）。

2.2圓錐曲線的最值問題

最值問題是圓錐曲線中的常見題型，在處理這類題目的過程中，可以結(jié)合函數(shù)的方法來進(jìn)行解決。將題目中要求的最值轉(zhuǎn)變?yōu)楹凶兞康暮瘮?shù)式，其中需要特別注意函數(shù)變量的取值范圍，這樣也就將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)變成了求函數(shù)的值域。以下題對該方法進(jìn)行說明。如圖所示，在梯形ABCD中▏AB▕=2▏CD▕，點(diǎn)E分向量 所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)λ [ ， ]時(shí)，求雙曲線的離心率e的最值[4]。

圖2

根據(jù)題意將AB設(shè)為X軸，而AB的中垂線為y軸以此來建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系。雙曲線以A、B為焦點(diǎn)，設(shè)A（-c，0），利用雙曲線的對稱性可得C（ ，h），E（x0，y0）。設(shè)參數(shù)方程為 =1，那么e= ，在利用定比公式可得 x0=（λ-2）c/2（λ+1），y0=λh/（λ+1），將C、E的坐標(biāo)代入雙曲線中，可以得到 2-2 =1。經(jīng)過整理可得：e2/4#8226;（4-4λ）=1+2λ，即可以得到λ=1-3/（e2+2）。根據(jù)λ [ ， ]得到e的最大值為 ，其最小值為。2.3直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

求直線和圓錐曲線的位置關(guān)系在圓錐曲線中也較為常見，這類問題的主要步驟是先設(shè)出圓錐曲線上的兩點(diǎn)M（x1，y2），N（x1，y2），再根據(jù)題目中的已知條件找到相關(guān)關(guān)系，以連立方程法與點(diǎn)差法對等量關(guān)系進(jìn)行處理，以此來判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。

3.結(jié)語

圓錐曲線一直都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，并且具有較大的難度，在歷年高考中都占有很高的分值，這需要引起學(xué)生和老師的重視。為了讓學(xué)生能夠更好地解題，不僅僅要向?qū)W生傳輸相關(guān)的答題技巧，以提高學(xué)生的解題水平，并且還要讓學(xué)生具備良好的學(xué)習(xí)態(tài)度以及學(xué)習(xí)習(xí)慣，這將給整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)帶來很大的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉智強(qiáng)，朱哲.數(shù)學(xué)教學(xué)要在“再創(chuàng)造”上下工夫——圓錐曲線概念教學(xué)的一種創(chuàng)新設(shè)計(jì)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（09）：112-113.

[2]應(yīng)向明.不可忽視的圓錐曲線幾何性質(zhì)——范圍[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011（12）：167-168.

[3]張鴻斌.直線與圓錐曲線問題的處理方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué).教研版），2012（08）：148-149.

[4]周松.一節(jié)沒有完成教學(xué)目標(biāo)的數(shù)學(xué)課——圓錐曲線探索性教學(xué)一例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2013（08）：114-115.