以錯(cuò)誤為載體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

☉江蘇省海門市證大中學(xué) 張志華

在考試或練習(xí)的時(shí)候，學(xué)生總會出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，這些錯(cuò)誤也是一種非常好的教育資源，對發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)大有幫助.

一、厘清邏輯，關(guān)注思維準(zhǔn)確性的培養(yǎng)

例1已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)存在極值為零，請確定m和n的取值.

學(xué)生在處理本題時(shí)，出現(xiàn)以下錯(cuò)誤解法：

因?yàn)閒′（x）=3x2+6mx+n，結(jié)合題意可得

就上述問題的處理來講，需要學(xué)生靈活進(jìn)行化歸和轉(zhuǎn)化，而且在求解最后的結(jié)果時(shí)，學(xué)生還要結(jié)合題設(shè)條件，能夠?qū)栴}進(jìn)行巧妙地變形.就函數(shù)的極值問題，學(xué)生還必須意識到針對函數(shù)f（x），“f′（x0）存在且等于0”是“函數(shù)f（x）在x=x0時(shí)取極值”的必要不充分條件.換言之，學(xué)生必須在邏輯層面區(qū)分條件的必要性和充分性，若邏輯混亂，則必然導(dǎo)致思路模糊，最終的處理必然會出現(xiàn)偏差.因此，在進(jìn)行問題分析和解決時(shí)，學(xué)生采用某些知識和方法來處理問題時(shí)，厘清邏輯關(guān)系是第一要務(wù)，它是思維準(zhǔn)確性的基本前提.

二、設(shè)置問題，關(guān)注思維嚴(yán)密性的培養(yǎng)

例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0，x∈R，a∈R}有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值.

學(xué)生在分析這個(gè)問題時(shí)，給出了以下錯(cuò)誤解法：

因?yàn)閍x2+x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

上述問題出現(xiàn)在學(xué)生對集合概念的認(rèn)識過程中，是嚴(yán)格意義上的高中數(shù)學(xué)入門課，我們在這一課上尤其要關(guān)注學(xué)生思維的培養(yǎng).學(xué)生也沒有讓老師“失望”，絕大多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)了上述意料之中的錯(cuò)誤.因?yàn)閷W(xué)生對一元二次方程太過熟悉，思維定式產(chǎn)生了很強(qiáng)的負(fù)面影響——看到帶有二次項(xiàng)的方程式就想到了根的判別式和求根公式.當(dāng)學(xué)生將錯(cuò)誤暴露出來之后，筆者認(rèn)為，我們學(xué)生的軟肋不在于對集合概念的把握，而在于思維上沒有準(zhǔn)確把握方程.為了幫助學(xué)生提出針對性的引導(dǎo)，筆者對問題進(jìn)行了更進(jìn)一步地設(shè)計(jì)，將問題轉(zhuǎn)化為“既然方程ax2+x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根”，再明確提出問題：“這個(gè)方程屬于什么方程？”這個(gè)問題就非常明顯了，很快有學(xué)生給出了不同的意見，不少學(xué)生指出：“方程的二次項(xiàng)系數(shù)為a，這個(gè)參數(shù)的取值要進(jìn)行討論，若a=0，則方程為一元一次方程，x的值等于-1，也是一個(gè)實(shí)數(shù)根；若a≠0，則屬于一元二次方程，可以按照原先的做法來解答.”

三、一題多變，關(guān)注思維深刻性的培養(yǎng)

例3 現(xiàn)有△APB是一個(gè)直角三角形，其中∠P=90°，∠A=60°，AP=1，現(xiàn)在從頂點(diǎn)P引出一條射線l，與AB邊的交點(diǎn)為D，求AD長度小于1的概率.

學(xué)生在處理本題時(shí)，出現(xiàn)以下錯(cuò)誤的解答：

如果AD邊恰好等于1時(shí)，那么D點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)，

對于學(xué)生所暴露出的錯(cuò)誤，筆者在教學(xué)中沒有當(dāng)即給出評價(jià)，而是引導(dǎo)學(xué)生再嘗試分析一道變式：“現(xiàn)有△APB是一個(gè)直角三角形，其中∠P=90°，∠A=60°，AP=1，現(xiàn)在AB邊上任意取一點(diǎn)D，求AD長度小于1的概率.”面對這個(gè)變式問題，學(xué)生的處理方式和原先例題的處理完全一致，為此筆者提醒學(xué)生概率的關(guān)鍵還是在于試驗(yàn).經(jīng)過提醒，學(xué)生意識到，原題的試驗(yàn)是“現(xiàn)在從頂點(diǎn)P引出一條射線l，與AB邊的交點(diǎn)為D”，l在這個(gè)角度中所出現(xiàn)位置的可能性都是均等的，因此最終應(yīng)該用角度之比來確定概率大小；后來變式問題的試驗(yàn)是“現(xiàn)在AB邊上任意取一點(diǎn)D”，這里D點(diǎn)在線段上所出現(xiàn)的位置都是等可能的，因此可以用線段長度之比來確定概率的大小.

面對學(xué)生所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，筆者靈活設(shè)計(jì)變式問題，為學(xué)生提供了兩個(gè)極其相似的問題情境，由此讓學(xué)生展開比較和分析，這兩個(gè)問題也就只有幾個(gè)文字的差別，但是其本質(zhì)卻出現(xiàn)了很大的差異，可以說是“一語驚醒夢中人”.很多時(shí)候也是這樣，當(dāng)問題孤立出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生很難產(chǎn)生深度思考和比較的意識，但是一旦問題以對比的形式展示在學(xué)生的面前時(shí)，學(xué)生將自發(fā)地溯本求源，探求事物的本質(zhì)，進(jìn)而對幾何概型形成更加深入的認(rèn)識和理解，這樣他們也將對其他相同類型的問題產(chǎn)生深層次的思考.為此，我們在教學(xué)實(shí)踐中，可以采用一題多變，并且培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的探究能力，有助于學(xué)生思維深刻性的發(fā)展.

四、一題多解，關(guān)注思維批判性的培養(yǎng)

生1：結(jié)合基本不等式的有關(guān)理論，由于a＞0，b＞0，所以有0，由①可得最小值為8.

大部分學(xué)生都采用了生1的解答方法，第二種方法也不能說毫無道理，兩種貌似都合情合理的解題方法卻得出了兩個(gè)截然不同的答案，這是怎么回事呢？面對學(xué)生答案中出現(xiàn)的矛盾，筆者沒有給出直接的評價(jià)，而是鼓勵學(xué)生再變換角度，是否還能提出一些其他的處理方法.

生3：我采用三角換元來進(jìn)行處理，由于a＞0，b＞0，所以可以假設(shè)a=sin2x，b=cos2x，則

隨后，又有學(xué)生從柯西不等式、構(gòu)造法等多種角度著手，最終確認(rèn)了答案應(yīng)該為9，他們自然也就發(fā)現(xiàn)了原本方法是錯(cuò)誤的，那錯(cuò)在哪里呢？這時(shí)，筆者就引導(dǎo)學(xué)生刨根究底，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度地發(fā)掘和探索，他們經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的解題方法（除了柯西不等式之外），都用到了基本不等式，所不同的是第一種方法使用了兩次，而最終最值成立的根本條件在于兩次基本不等式的等號都要成立，這樣學(xué)生也就明確了為什么之前發(fā)生錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)等號不能同時(shí)成立.

客觀來講，上述第一種做法是學(xué)生普遍會犯的錯(cuò)誤，而且雖然教師屢次強(qiáng)調(diào)，但是學(xué)生還是會在類似的地方犯下類似的錯(cuò)誤，這其實(shí)也反映著學(xué)生在批判性思維方面的缺失，教學(xué)過程中，我們創(chuàng)造條件，讓學(xué)生通過一題多解的方式來對自己的思路進(jìn)行剖析，這樣的教學(xué)有助于學(xué)生提升對問題的認(rèn)識，有助于學(xué)生進(jìn)行更加深刻地反思.

五、轉(zhuǎn)換思維，關(guān)注思維靈活性的培養(yǎng)

生1：本函數(shù)是兩數(shù)乘積的形式，應(yīng)該可以從基本不等式的角度展開分析.由于0＜x＜，所以這個(gè)數(shù)都是正數(shù)，因此有（但是問題來了，不等式的右邊并不等于常數(shù)，怎么確定最值呢？學(xué)生的處理陷入僵局）

生2：可以將f（x）的二次項(xiàng)拆解一下，拆成兩個(gè)一次項(xiàng)的乘積形式，這樣可以使得不等式右側(cè)化為一個(gè)常數(shù)，即f（x）=x·x·（1-3x）≤

生3：不等式的右側(cè)距離等式還有一點(diǎn)點(diǎn)距離，可以繼續(xù)這樣處理：

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生面對困難無法突破的原因在于缺乏切入點(diǎn)，因此教師要鼓勵學(xué)生展開討論，并在討論中獲得啟發(fā)并促成思維的轉(zhuǎn)換.在上述討論的過程中，學(xué)生僅僅完成拆項(xiàng)操作之后卻沒有將問題解決，但是另外的同學(xué)又通過自己的思考將思路向前推進(jìn)了一步，但是問題還是沒有解決，因?yàn)橐サ忍?，需要三?xiàng)都相等，所以在更進(jìn)一步地思考中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將二次項(xiàng)拆成兩個(gè)相等項(xiàng)的乘積x， 由此可以發(fā)現(xiàn)最終是在時(shí)，有最大值為

犯錯(cuò)并不可怕，但是要將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)生思維發(fā)展的土壤，這就需要教師細(xì)致入微地分析和研究，需要教師在教學(xué)中隨機(jī)應(yīng)變地創(chuàng)造，更需要教師教學(xué)智慧的發(fā)揮.