以“配方法的應(yīng)用”為例，探微初高中數(shù)學(xué)的銜接

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，廣泛應(yīng)用于解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題之中。但是，配方法在初中階段的使用率并不高，原因之一是教材涉及配方法的內(nèi)容不多。以人教版教材為例，雖然學(xué)生在八年級(jí)《因式分解》章節(jié)中學(xué)習(xí)了完全平方公式，但學(xué)生第一次接觸到配方法是在九年級(jí)《解一元二次方程》中;原因之二是由于在運(yùn)用配方法的過(guò)程中常伴隨大量的運(yùn)算，有些計(jì)算能力稍弱的學(xué)生往往會(huì)選擇用公式法或二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等方法來(lái)解決這些問(wèn)題。久而久之，學(xué)生進(jìn)入高中后，就會(huì)對(duì)配方法比較生疏。事實(shí)上，配方法在高中解題過(guò)程中有著廣泛應(yīng)用。

一、雙重根式的化簡(jiǎn)

進(jìn)入高中后，學(xué)生就要學(xué)習(xí)《必修一》第一章《集合》，其中有一些題目會(huì)涉及雙重根式的化簡(jiǎn)。如： " " " " " " + " " " " " " "= " " " " " " " " " " "+

= " " - " "+ " " + " " "=2 " " 。

二、求函數(shù)的值域

從《必修一》第二章開始到學(xué)完《必修一》，學(xué)生大部分時(shí)間都在研究函數(shù)，所以不可避免地會(huì)遇到求函數(shù)的定義域和值域問(wèn)題。

例1. 求函數(shù)y= " " " " -x（x≥2）的值域。

解答：令 " " " " =t，x=t2+1，

∴y=-t2+t-1=-（t- " "）2- " " ，

∴y≤- " " .

∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞ ，- " " ]。

例2. 求y=（ " ）2x-x 的值域。

解答：∵2x-x2=-（x-1）2+1≤1，且y=

（ " ）x為減函數(shù)，∴（ " ）2x-x2≥（ " ）1= " " ，

∴該函數(shù)的值域?yàn)閇 " " ，+∞）。

三、利用配方法解函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題

在研究函數(shù)時(shí)，我們需要考慮函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)的增減性。如果對(duì)于屬于函數(shù)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1lt;x2時(shí)，都有f（x1）lt;f（x2），那么就是說(shuō)f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù);反之則是減函數(shù)。

在判斷函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中，我們常常令x1lt;x2，判斷f（x1）-f（x2）的正負(fù)性，這樣就可以利用配方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

例3.證明f（x）=x3在R上是增函數(shù)。

解答：任取x1，x2∈R，x1lt;x2，此時(shí)，f（x1）-f（x2）

=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）=（x1-x2）[（x1+ " " "）2+ " " x22 "]，

∵x1lt;x2，

∴x1-x2<0，

∵（x1+ " " "）2>0， " "x22 "≥0，

∴（x1+ " " ）2+ " " x22>0，∴f（x1）-f（x2）<0，

∴f（x1）

∴f（x）=x3在R上是增函數(shù)。

例4.已知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，試比較f（x2+x+1）與f（ " ）的大小。

解答：利用配方法，將x2+x+1配成（x+ " ）2+

，

顯然（x+ " "）2+ " " ≥ " " ，

∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴f（x2+x+1）≥f（ " ）.

四、利用配方法解含參不等式恒成立問(wèn)題

不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，這節(jié)內(nèi)容中有一個(gè)常見問(wèn)題，就是含參不等式的恒成立問(wèn)題。含參不等式恒成立問(wèn)題因?yàn)楦采w的知識(shí)點(diǎn)較多，解法靈活，綜合性強(qiáng)，而備受高考命題者的青睞。如果學(xué)生能使用配方法來(lái)解答一些不等式恒成立的問(wèn)題，那么就能大大降低解題的難度。

例5.已知不等式（ "）x2+x+a<2對(duì)于任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍。

解答：由于（ "）x為減函數(shù)，所以（ "）x2+x+a<2，即（ "）x2+x+a<（ "）-1，x2+x+a>-1，x2+x+1>

-a.

設(shè)f（x）=x2+x+1=（x+ " ）2+ " " ，

∴f（x）≥ " " ，

∴ " " ≥-a，∴a≥- " " "。

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它是研究相等關(guān)系和恒等變形的重要手段，也是討論不等關(guān)系的常用技巧。如果初中生能掌握配方法，對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將大有幫助。因此，教師不能僅僅局限于眼前的考試，還要著眼于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，為學(xué)生的高中學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使他們的高中學(xué)習(xí)之旅更輕松、更愜意。

（作者單位：江西省南昌市第二中學(xué)）