一維層狀直流電測深的反演

摘要：為進(jìn)一步研究直流電測深反演的問題，解決因受各方面數(shù)據(jù)的干擾而造成反演問題的多解性，本文研究驗(yàn)證了水平層狀大地模型的三層模型，用反演流程圖對阻尼最小二乘法進(jìn)行了反演，通過分析得出反演模型結(jié)果對比圖，對直流電測深研究不僅具有理論指導(dǎo)意義，還具有實(shí)踐意義。

關(guān)鍵詞：一維層狀 直流電測深法 反演

一、直流電測深法理想條件下的一維反演

穩(wěn)定電流場的電位滿足拉普拉斯方程：

在理想條件下，直流電測深反演過程的算法比較簡單。一般記某一測點(diǎn)下第i個(gè)極距處的視電阻率值為 yi，采集的總點(diǎn)數(shù)為m。X=（x1，x2…，xn）T是各層深度為hi和真電阻率為pi的參數(shù)向量，函數(shù)關(guān)系fi（x1，x2…，xn）是表示第i個(gè)極距下的理論視電阻率值。

在此理想條件下，可通過求解方程組

二、最小二乘法

最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)為：

P是模型函數(shù)的參數(shù)向量，fi（p）是模型函數(shù)的第i個(gè)采樣點(diǎn)上的電阻率理論值，fi是第i個(gè)采樣點(diǎn)的電阻率實(shí)測值，m是采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

模型函數(shù)fi（p）是參數(shù)P的非線性函數(shù)，由于很難求出其值，最后高斯提出了一種線性方法，得出：

再以P1作為初始參數(shù)值，進(jìn)行下一次的疊代計(jì)算，直到滿足精度要求為止。上述方法被稱為最小二乘法。

三、阻尼最小二乘法

在實(shí)際電測深反演中，由于參數(shù)個(gè)數(shù)n一般都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于7，而當(dāng)法方程系數(shù)陣A的階數(shù)大于7時(shí)，高斯法迭代解的穩(wěn)定性較差，而且每步所求解都有很大的誤差，再加上誤差的不斷積累，致使校正結(jié)果偏離真實(shí)的解，從而使得迭代發(fā)散。

于是，馬奎特提出了一種改進(jìn)方案，即阻尼最小二乘法，該方法結(jié)合了最速下降法和最小二乘法兩者的優(yōu)點(diǎn)。其定義是具有正對角元的對稱優(yōu)勢陣A是正定的，那就能使實(shí)對稱優(yōu)勢陣A構(gòu)成的新的陣A+αI也為正定的。其方程為：

即：（A+αI）△P=g

四、直流電測深法模型的反演結(jié)果由圖2可以看出，對正演得到的電阻率進(jìn)行反演的結(jié)果與正演得到的電阻率結(jié)果非常吻合，反演效果很好。

2.正反演數(shù)據(jù)結(jié)果對比

五、結(jié)論

通過分析，筆者得出三點(diǎn)結(jié)論：第一，阻尼最小二乘法兼?zhèn)涓咚?牛頓法和最速下降法的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)了兩者的不足之處；第二，運(yùn)用阻尼最小二乘法對電測深的數(shù)據(jù)處理有一定的幫助；第三，最小二乘擬合反演可以實(shí)現(xiàn)非線性方程的擬合，對電測深反演發(fā)展有很大的促進(jìn)作用。

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※本文系國家自然科學(xué)基金（青年）項(xiàng)目：消除海洋可控源信號噪聲方法研究，批準(zhǔn)號：41104074。

（作者單位：東華理工大學(xué)放射性地質(zhì)與勘探技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室）

1.三層水平地層模型的反演結(jié)果