拓展習(xí)題 提升能力

圓的相關(guān)知識點較多，是中考中的必考內(nèi)容，所占分值較大. 圓中有較多的隱含條件，所給圖形往往不夠完整，通常需要從條件與圖形整體考慮，運用不同的數(shù)學(xué)知識與方法分析，反而可以找到多種解題途徑與方法. 另外一題多解是對習(xí)題的多角度“追蹤”，能使我們思維靈活、解題思路開闊，能“以少勝多”地鞏固基礎(chǔ)知識，掌握基本的解題方法和技巧，能增強(qiáng)應(yīng)變能力，提高靈活運用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題的能力. 下面就一道課本習(xí)題進(jìn)行變式后的不同解法進(jìn)行分析、探討，供同學(xué)們借鑒.

【習(xí)題】如圖，已知A、B、C、D在☉O上，∠ADC=∠BDC=60°. 判斷△ABC的形狀，并說明理由.

【解析】∵∠ABC=∠ADC=60°，∠BAC=∠BDC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形.

【變式練習(xí)】上述條件不變，若AB與CD交于Q，且AD=6，=，求DB的長.

【解析】一般來說，求線段的長度往往利用相似三角形的性質(zhì)得成比例線段或利用勾股定理建立方程求得. 因而對照題中條件與圖形可構(gòu)造相似三角形.

解法1：設(shè)AQ=3x，BQ=5x，如圖1. 由原題可知BC=AB=8x.

∵∠ADC=∠BDC，∠DAQ=∠BCD，∴△AQD∽△CBD. ∴=，即=，得DC=16，又∠BCQ=∠DCB，∠QBC=∠BDC=60°，∴△BCQ∽△DCB. ∴=，即=，得DB=10.

解法2：設(shè)AQ=3x，BQ=5x（如圖1）. 由原題可知BC=AB=8x. ∵∠ABC=∠ADQ，∠AQD=∠CQB，∴△AQD∽△CQB. ∴=，即=，得DQ=，又∠ADC=∠BDC，∠DAQ=∠BCD，∴△AQD∽△CBD. ∴=，即=，得DB=10.

解法3：設(shè)AQ=3x，BQ=5x（如圖1）. 由原題可知BC=AB=AC=8x. ∵∠ABC=∠ADQ，∠AQD=∠CQB，∴△AQD∽△CQB. ∴=，即=，得CQ=4x2，又∠BDQ=∠CAQ，∠BQD=∠AQC，∴△DBQ∽△ACQ. ∴=，即=，得DB=10.

【點評】上面的這三種方法是根據(jù)題中的=，尋找題中的相似三角形，構(gòu)造兩次相似，利用線段的比值來求解.

解法4：作AM⊥DC于點M，BN⊥DC于點N，如圖2.∵∠AMQ=∠BNQ=90°，∠AQD=∠CQB，∴△AMQ∽△BNQ. ∴==. 又∵∠ADQ=∠BDC，∠AMD=∠BND=90°，∴△ADM∽△BDN. ∴==. 而AD=6，∴DB=10.

【點評】這種解法雖沒有設(shè)未知數(shù)，但通過作高，運用相似三角形性質(zhì)巧妙使用條件=. 從此解法中我們看到運用相似三角形轉(zhuǎn)換線段比值可使過程簡化.

解法5：過點B作BG∥DA交DC于點G， 如圖3，∴∠BGD=∠ADC=60°. ∵∠ADC=∠BDC=60°，∴∠BGD=∠BDC=60°，BD=BG. 又∵BG∥DA，∴△ADQ∽△BGQ. ∴=，∴=，∴BG=10，即DB=10.

【點評】此種解法通過添加平行線構(gòu)造特殊三角形，將未知線段與已知線段等量代換，同樣充分運用條件=及相似三角形性質(zhì)求出DB長.

解法6：作QE⊥AD于點E，QF⊥DB于點F，如圖4. ∵∠BDC=∠ADC=60°，∴QE=QF. ∴==.

又∵=，∴=，即=，∴DB=10.

【點評】此種解法運用了等面積來建立比例式求解，巧妙結(jié)合=，過程簡潔，解題迅速.

一般來說，求圓中線段的長度常用的方法有三種：利用平行線的性質(zhì)、利用相似三角形的性質(zhì)、利用中間量進(jìn)行等量代換. 圓中含有許多隱含條件，可根據(jù)已知條件從不同角度用不同方法構(gòu)造輔助線，再綜合分析求解. 因此，要想提高解題能力與學(xué)習(xí)效率，同學(xué)們應(yīng)該有意識地進(jìn)行一題多解練習(xí)，善于挖掘圓中的條件，多角度思考、分析、研究，有助于總結(jié)知識、發(fā)現(xiàn)方法，有助于尋找到最佳解題途徑與方法，養(yǎng)成創(chuàng)造性思維.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)）