另辟蹊徑,快解概率題

在初中數學的概率問題中，我們經常會發(fā)現這樣一類問題：可以運用常規(guī)方法進行求解，但是往往看起來比較復雜，計算量較大，容易出錯. 這時倘若我們換個角度考慮，往往能夠簡便、快速地得到答案而且計算較為簡便. 下面結合例題介紹一些快速解題的巧妙方法.

技巧一：巧分類，妙解題

例1 “上升數”是指一個數中右邊數字比左邊數字大的自然數（如：34、568、2469等）. 任取一個兩位數，是“上升數”的概率是______.

【常規(guī)思路】通過列表或是畫樹狀圖的方式解決，工作量很大，容易出錯.

【另辟蹊徑】任意兩位數有10-99共90個數據：其中右邊數字和左邊相等的有：11，22，33，…，99共9個不是上升數；尾數為0的數有：10，20，30，…，90共9個不是上升數；其余72個數據左右兩位由1~9構成（十位、個位不相同），任意兩個數構成兩位數如2，4，有24和42兩種，分別是左邊數字比右邊大和左邊數字比右邊小，所以右邊數字比左邊大的數占72個數據的一半，為36個.

所以“上升數”的概率是=.

例2 初三（1）班要舉行一場畢業(yè)聯歡會，規(guī)定每個同學同時轉動下圖中①、②兩個轉盤（每個轉盤分別被二等分和三等分），若兩個轉盤停止后指針所指的數字之和為奇數，則這個同學要表演唱歌節(jié)目；若數字之和為偶數，則要表演其他節(jié)目. 每個同學表演唱歌節(jié)目的概率為______.

【常規(guī)思路】畫樹狀圖或列表列舉所有等可能的結果，找出符合條件的解.

【另辟蹊徑】觀察轉盤1，兩個數據分別為1和2，且等可能.

對于數字1：奇數加1為偶數，偶數加1為奇數；

對于數字2：奇數加2為奇數，偶數加2為偶數.

所以對于任意數據，加上轉動轉盤1后的結果為奇數或偶數的可能性相同.

所以不論轉盤2中轉得什么數，每個同學表演唱歌的概率均為.

技巧二：換位思考、厘清思路

例3 袋子里有5個白球和3個黑球，這些球除了顏色外都相同，每次摸出1個球，不放回，則第三次摸到黑球的概率是______.

【常規(guī)思路】從摸球人的角度考慮，第一次摸球結果如何，第二次摸球……

【另辟蹊徑】不從摸球人的角度入手，轉變角色，站在球的角度考慮問題：是哪個球會在第三次被摸到呢？顯然每個球都有可能在第三次被摸到，而且等可能，所以第三次摸到黑球的概率為=.

【技巧點評】概率的計算一般是利用樹狀圖或列表把所有等可能的情況列出，再計算某一事件的概率.其關鍵是找出所有的等可能的結果，本題不要受“第三次摸到黑球”影響而排列摸球的順序，這樣反而使問題復雜化.

例4 在一次社會實踐中，要將A、B、C、D共4名同學分為2組，則同學A與同學D在一組的概率為______.

【常規(guī)思路】運用列表法或者樹狀圖列出所有可能性.

【另辟蹊徑】看同學A和哪個同學在同一組，從同學A的角度可知，他一定與B、C、D中的一人在同一組，且可能性相同，所以同學A和D在一組的概率為.

【拓展延伸】將本題改為“2張圖片形狀完全相同，把兩張圖片全部從中間剪斷，相同的小圖片混在一起，從4張圖片中摸取一張，接著再摸一張，將兩張圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？”即人教版九上教材中的一條拓廣思考題，做法相同.

技巧三：巧妙利用背景性質，快速獲取答案

例5 已知a、b可以取-2、-1、1、2中任意一個值（a≠b），則直線y=ax+b的圖像不經過第四象限的概率是______.

【常規(guī)思路】運用列表法或者樹狀圖列出所有可能性.

【另辟蹊徑】由于a≠b且a、b≠0，所以根據一次函數性質，不經過第四象限有且僅有a>0、b>0時.

由題意，a、b取值共有12種可能性，其中，滿足a>0、b>0的有a=1、b=2和a=2、b=1，2種情況. 所有等可能的情況數有12種，其中直線y=ax+b不經過第四象限情況數有2種，則P==.

例6 現擲A、B兩枚均勻的小立方體（每個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6），設兩立方體朝上的數字分別為x、y，并以此確定點P（x，y），那么各擲一次所確定的點P落在已知拋物線y=-x2+4x上的概率為（）.

A. B.

C. D.

【常規(guī)思路】利用列表可以很容易得到所有36種等可能的情況，但是如何在36種等可能的情況中找到滿足題意“點P落在拋物線上”的情況，是很多同學犯難的問題. 一個一個代入，耗時耗力，最不可??；也可以分別代入x=1、2、3、4、5、6，求出對應的函數值y，從而找到滿足要求點在拋物線上的情況. 還有其他解法嗎？

【另辟蹊徑】我們觀察拋物線解析式y(tǒng)=-x2+4x，根據二次函數性質，頂點為（2，4），開口向下，與x軸的交點為（0，0），（4，0），由此，當0

在解題訓練中，我們不僅要熟練掌握常規(guī)的解法，積累解題經驗，而且要不斷滲透突破常規(guī)的解題技巧，以擺脫思維定勢的束縛，提高解題速度.

（作者單位：江蘇省南通市第三中學）