大數(shù)化小數(shù),簡化運算

分析數(shù)據(jù)的時候，大數(shù)的計算常讓我們感覺頭疼，這個時候我們可以設(shè)法利用一些性質(zhì)，將較大的數(shù)化為較小的數(shù)，簡化計算的過程.

1. 大數(shù)化小，簡化平均數(shù)的計算過程

例1 某校規(guī)定：學生的平時作業(yè)、期中考試、期末考試三項成績分別按2∶3∶5的比例計入學期總評成績. 小明、小亮、小紅的平時作業(yè)、期中考試、期末考試的數(shù)學成績?nèi)缦卤?，這學期誰的數(shù)學總評成績最高？

【常規(guī)思路】利用加權(quán)平均數(shù)公式，先求出三位同學成績的加權(quán)平均數(shù)，然后比較他們的數(shù)學成績的大小.

【簡潔解法】小明：90+（6×2+4×3+0×5）÷10=90+2.4=92.4（分）

小亮：90+（0×2+6×3+3×5）÷10=90+3.3=93.3（分）

小紅：90+（0×2+0×3+6×5）÷10=90+3=93（分）

∴小亮的總評成績最高.

【解法說明】本題所用的簡化方法，實際上是平均數(shù)的性質(zhì)“若x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則x1+b，x2+b，x3+b，…，xn+b的平均數(shù)為+b”的應(yīng)用. 應(yīng)用此性質(zhì)，可以將一組較大的數(shù)，化為一組較小的數(shù)，既減輕了運算量，也能提高正確率，這個方法既可用于求算術(shù)平均數(shù)，也可用于求加權(quán)平均數(shù).

2. 大數(shù)化小，簡化方差的計算

例2 為了比較甲、乙兩種水稻秧苗是否出苗整齊，每種秧苗各取5株并量出每株的長度如下表所示：（單位：厘米）

請你評價哪個品種出苗更整齊.

【常規(guī)思路】判斷兩個品種出苗是否整齊，可應(yīng)用方差公式分別求出兩個品種水稻的方差，比較兩者方差的大小即可.

【簡潔解法】根據(jù)方差的性質(zhì)：12，13，15，15，10的方差與-1，0，2，2，-3的方差相同；13，14，16，12，10的方差與0，1，3，-1，-3的方差相同.

此時，=0，=0.

S2 甲=［（-1）2+02+22+22+（-3）2］=3.6（厘米2），

S2 乙=［02+12+（-3）2+（-1）2+（-3）2］=4（厘米2），

∵S2 甲

【解法說明】根據(jù)方差性質(zhì)可知：“如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是，方差是s2，那么一組新數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，…，xn+b的平均數(shù)是+b，方差仍是s2”，利用這個性質(zhì)，我們可以將數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都減去一個相同的數(shù)，轉(zhuǎn)化為求一組較小數(shù)據(jù)的方差問題，如果能將每個數(shù)據(jù)都減去原來這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么計算過程會更簡便.

（作者單位：江蘇省南通市北城中學）