用他山之石鋪就正確道路

在解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，有些同學(xué)常因概念模糊、考慮問題不周、計(jì)算馬虎等原因?qū)е洛e誤.現(xiàn)將圓中出現(xiàn)的常見易錯題整理如下，供同學(xué)們參考.

一、 概念模糊致錯

例1 有下列命題：①長度相等的兩條弧是等?。虎谌魞上蚁嗟?，則它們所對的弧相等；③圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；④ 90°的圓周角所對的弦是直徑. 其中正確的是______（填序號）.

【錯解】填①②③④.

【辨析】命題①是對等弧的概念認(rèn)識模糊，能夠完全重合的弧才是等弧，這里的“等”是全等之意. 具體說來，只有度數(shù)相等、長度也相等的弧才是等弧. 命題②忽略兩點(diǎn)：一是前提條件為同圓或等圓中，二是一條弦所對的弧有兩條.命題③忽略了兩者關(guān)系的前提條件是它們所對的弧是同弧或等弧.命題④正確.因此正確答案應(yīng)填④.

例2 將量角器按如圖1所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上. 點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，則∠ACB的大小為_______.

【錯解】填56°.

【辨析】點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，這表明的度數(shù)為86°-30°=56°，弧的度數(shù)與它所對的圓心角的度數(shù)相等，而∠ACB是所對的圓周角，∴∠ACB=×56°=28°.

二、 與圓有關(guān)的位置關(guān)系中的易錯點(diǎn)

例3 設(shè)Q為直徑AB上一點(diǎn)，過Q作PQ⊥AB，交半徑為R的半圓于P，且PQ=R，則AQ=_______.

【錯解】填R.

【辨析】本題的錯解原因是對點(diǎn)Q的位置情況考慮不全，如圖2和圖3所示的兩種情況下AQ長度是不一樣的，因此正確答案為：AQ=R或R.

例4 在半徑為1的☉O中，弦AB、AC分別是和，則∠BAC=______.

【錯解】填15°.

【辨析】錯誤原因是沒有注意到圓的對稱性，AB與AC的位置有兩種情況（如圖4所示）：

①當(dāng)AB和AC在圓心的同側(cè)時(shí)，∠BAC=15°；

②當(dāng)AB和AC在圓心的異側(cè)時(shí)，∠BAC=75°.

綜上所述，∠BAC=15°或75°.

例5 若☉O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到☉O上的點(diǎn)最大距離為a，最小距離為b（a>b），則此圓的半徑為______.

【錯解】填.

【辨析】錯誤的原因是沒有考慮點(diǎn)P位置的兩種可能：①點(diǎn)P在圓上或圓外時(shí)，r=；②點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，r=. 因此正確答案為r=.

例6 ☉O的半徑為5 cm，弦AB∥CD，AB=6 cm. CD=8 cm，則AB與CD的距離為______.

【錯解】填7 cm.

【辨析】錯誤原因是對位置關(guān)系考慮不全面，要同時(shí)考慮弦AB、CD在圓心O兩旁或同旁的情形. 如圖5，當(dāng)AB、CD在圓心O兩旁時(shí)，距離=4+3=7（cm）； 如圖6，當(dāng)AB、CD在圓心O同旁時(shí)，距離=4-3=1（cm）. ∴正確答案是7 cm或1 cm，否則會漏解.

例7 如圖7，☉O的半徑為7 cm，直線l⊥OA，垂足為B，OB=4 cm，則直線l沿直線OA平移______時(shí)與☉O相切.

【錯解】填3 cm.

【辨析】延長AO交圓O于C，根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)得出當(dāng)直線l平移到過A點(diǎn)或過C點(diǎn)時(shí)，直線l與圓相切，求出BC和AB的值即可. 正確答案是3 cm或11 cm.

例8 如圖8，☉O的半徑為5 cm，點(diǎn)P是☉O內(nèi)一點(diǎn)，OP=2 cm. ☉P與☉O內(nèi)切，則☉P的半徑r是多少？

【錯解】∵兩圓內(nèi)切，∴d=R-r，即2=5-r，∴r=3 cm.

【辨析】注意到兩圓的半徑大小關(guān)系不確定，因此圓心距與兩圓的半徑關(guān)系應(yīng)為d=R-r，即2=5-r，解之得r=3 cm或r=7 cm.

三、 與圓有關(guān)的計(jì)算中的易錯點(diǎn)

例9 如圖9，一個圓作滾動運(yùn)動，它從A位置開始，滾過與它相同的其他六個圓的上部，到達(dá)B位置. 則該圓共滾過_______圈.

【錯解】填.

【辨析】該圓從A位置到達(dá)B位置共滾過了六段弧長，其中有兩段是半徑為2r，圓心角為120度的弧長，四段是半徑為2r，圓心角為60度的弧長，所以可求得. 錯解中將小圓滾動路徑的圓弧半徑當(dāng)成了r導(dǎo)致錯誤. 實(shí)際上，這個問題中我們可以將該圓看成一個質(zhì)點(diǎn)，而圓心可以看成這個質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)再看其滾動過的路徑就知道都是半徑為2r的圓弧.

【正解】弧長==，小圓的周長=2πr，

所以該圓共滾過了÷2πr=（圈）.故答案為：圈.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）