巧用數(shù)學(xué)思想解題

一、 分類討論思想

例1 如圖1，點(diǎn)A、B在直線MN上，AB=11 cm，☉A、☉B(tài)的半徑均為1 cm. ☉A以2 cm/s的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，☉B(tài)的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時(shí)間t（s）之間的關(guān)系式為r=1+t（t≥0）.

（1） 試寫出點(diǎn)A、B之間的距離d（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2） 問點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

【分析】（1） 當(dāng)☉A自左向右運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)A、B之間距離d（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式為d=11-2t（0≤t≤5.5）；當(dāng)☉A自左向右運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)A、B之間的距離d（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式為d=2t-11（t>5.5）.

（2） 兩圓相切，既可以外切也可以內(nèi)切，由題意可以分為四種情況討論：①兩圓第1次外切時(shí)，可得11-2t=1+1+t，解得t=3 s；②兩圓第1次內(nèi)切時(shí)，可得11-2t=1+t-1，解得t= s；③兩圓第2次內(nèi)切時(shí)，可得2t-11=1+t-1，解得t=11；④兩圓第2次外切時(shí)，可得2t-11=1+1+t，解得t=13. 故點(diǎn)A出發(fā)3 s、 s、11 s、13 s后兩圓相切.

【點(diǎn)評(píng)】在解決有關(guān)動(dòng)態(tài)問題時(shí)常常需要考慮用分類討論思想.

二、 方程思想

例2 如圖2，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，AD=2，AE=1，求CD的長(zhǎng).

【分析】連接OD，則OD⊥AD. 在Rt△AOD中，設(shè)EO=OD=x，則AO=1+x，∴由勾股定理得22+x2=（1+x）2，解得：x=1.5，∴AB=1+

1.5+1.5=4. 再設(shè)CB=CD=y，則在Rt△ABC中，AC=2+y，∴由勾股定理得42+y2=（2+y）2，解得：y=3，即CD=3.

【點(diǎn)評(píng)】在圓中經(jīng)常設(shè)立未知數(shù)利用勾股定理或相似三角形性質(zhì)建立方程來求線段長(zhǎng)度.

三、 數(shù)形結(jié)合思想

例3 如圖3，設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形，以B為圓心，BD為半徑的圓與AB及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H及K. 求證：AH·AK=2AC2.

【分析】連接BD. 設(shè)BC=x，則AC=x，由正方形BCDE可知BD=x，又BK=BD=BH=x，∴AH=2x-x，AK=2x+x，∴AH·AK=（2x-x）·（2x+x）=4x2-2x2=2x2，即AH·AK=2AC2.

【點(diǎn)評(píng)】本題一般采用幾何方法證明，但從代數(shù)角度出發(fā)，巧妙設(shè)出AH、AK與AC的代數(shù)式，進(jìn)而證得結(jié)論，更顯數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)捷. 有時(shí)幾何圖形問題采用代數(shù)方法反而將問題簡(jiǎn)單化.

四、 整體思想

例4 有六個(gè)等圓按甲，乙，丙三種形式擺放，使相鄰兩圓相互外切，如圖4所示，它們的連心線分別構(gòu)成正六邊形，平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側(cè)的6個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和依次記為S，P，Q，則（）.

A. S>P>QB. S>Q>P

C. S>P=QD. S=P=Q

【分析】正六邊形的內(nèi)角和為720°，所以內(nèi)側(cè)6個(gè)扇形的面積之和是2個(gè)等圓的面積；平行四邊形的內(nèi)角和為360°，所以內(nèi)側(cè)6個(gè)扇形的面積之和也是2個(gè)等圓的面積；正三角形的內(nèi)角和為180°，所以內(nèi)側(cè)6個(gè)扇形的面積之和也是2個(gè)等圓的面積. 都是6個(gè)等圓減去2個(gè)等圓的面積，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】要想比較各個(gè)圖形中陰影部分的面積，若逐一計(jì)算，顯然很麻煩，但考慮將幾個(gè)扇形的圓心角合為一個(gè)整體，則可以利用多邊形的內(nèi)角和定理分別求得幾個(gè)圓心角之和，從而可以通過扇形面積公式整體求解. 這樣利用整體思想，可使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易.

五、 轉(zhuǎn)化思想

例5 如圖5，梯形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形，AB∥CD，CD為直徑，∠ACB=30°，若☉O的半徑為r，求圖中陰影部分的面積.

【解析】連接AO、BO，過C作CE⊥AB于E，過O作OF⊥AB于F. ∵AB∥CD，∴CE=OF. ∵S△AOB=AB·OF，S△ACB=AB·CE，∴S△AOB=S△ACB，∴S陰影=S扇形AOB. ∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴S陰影=S扇形AOB=πr2.

【點(diǎn)評(píng)】該圖的陰影部分是不規(guī)則圖形，計(jì)算面積不容易，但根據(jù)兩個(gè)同底等高的三角形面積相等，這樣將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的扇形面積來求. 在圓中通常應(yīng)用把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題這樣的轉(zhuǎn)化思想.

六、 對(duì)稱思想

例6 如圖9，☉O的直徑為10，弦AB=8，P為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，求OP的取值范圍.

【解析】過O作OC⊥AB于C，∴AC=BC，OC2=OA2-AC2. 又∵OA=5，AB=8，∴由OC2=OA2-AC2可得OC=3，∴OP的取值范圍為OC≤OP≤OA，即3≤OP≤5.

【點(diǎn)評(píng)】由于點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，由圓的對(duì)稱性可知OP的長(zhǎng)從A到B是由長(zhǎng)變短，然后又變長(zhǎng)，且以過圓心垂直于AB的直線為對(duì)稱軸. 正因?yàn)閳A具有旋轉(zhuǎn)不變性，所以圓是特殊的中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形. 對(duì)稱的數(shù)學(xué)思想在圓這一章中有充分的體現(xiàn).

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）