讓勾股定理與列方程合作共處

勾股定理是幾何中最重要的定理之一，也是直角三角形的一條重要性質. 方程思想是初中數(shù)學中一種基本的數(shù)學思想方法，方程是溝通已知量和未知量的橋梁. 利用勾股定理作為相等關系建立方程可以解決許多相關問題. 下面舉例說明利用勾股定理列方程解決問題常見的兩個數(shù)學模型.

模型一：找到一個聯(lián)系已知和未知的直角三角形，利用a2+b2=c2建立方程

例1 （2006·廈門）有古詩《葭生池中》——今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何（1丈=10尺）？

【解析】這是我國古代數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題. 在如圖1所示的Rt△ABC中，可設水深BC=x尺，則葭長=（x+1）尺，AB=5尺，根據(jù)勾股定理可列出方程x2+52=（x+1）2，解得x=12尺，故水深、葭長各為12尺、13尺.

例2 （2002·南通）如圖2，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使點C落在斜邊AB上的點E處，求CD的長.

【解析】結合題意易知BE=4 cm，CD=DE，在Rt△BDE中，可設DE=x cm，則DB=（8-x） cm，根據(jù)勾股定理可列方程x2+42=（8-x）2，解得x=3，故CD的長為3 cm.

例3 （2012·菏澤）如圖3，OABC是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8，在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標.

【解析】要求D、E兩點的坐標，只需求出OD、CE的長即可，根據(jù)題意依次可知AE=10，BE=6，CE=4，可得E（4，8），在Rt△CDE中，可設DE=x，則OD=x，CD=8-x，根據(jù)勾股定理可列方程（8-x）2+42=x2，解得x=5，故D（0，5）.

例4 （2006·涼山州）如圖4，直線y=-x+8與x軸、y軸分別相交于點A、B，設M是OB上一點，若將△ABM沿AM折疊，使點B恰好落在x軸上的點B′處.

求：（1） 點B′的坐標：________.

（2） 直線AM所對應的函數(shù)關系式.

【解析】易得OA=6，OB=8，AB=AB′=10，因此，OB′=4，所以B′（-4，0），要求直線AM的解析式，只需再求出點M的坐標，也就是OM的長度，由題意可知BM=B′M，在Rt△OB′M中，設OM=x，則B′M=BM=8-x，根據(jù)勾股定理可列方程42+x2=（8-x）2，解得x=3，所以M（0，3），再由A（6，0）可求得直線AM的解析式為y=-0.5x+3.

例5 （2012·鄂爾多斯）如圖5，將兩張長為4，寬為1的矩形紙條交叉并旋轉，使重疊部分成為一個菱形. 旋轉過程中，當兩張紙條垂直時，菱形周長的最小值是4，求菱形周長的最大值.

【解析】當兩紙條如圖乙重疊時，得到的菱形的周長最大，在Rt△ABC中，設AC=AD=x，則AB=4-x，根據(jù)勾股定理可列方程12+（4-x）2=x2，解得x=，所以該菱形周長的最大值為8.5.

例6 （2013·隨州）如圖6，正方形ABCD中，AB=3，點E在邊CD上，且CD=3DE. 將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF. 求CG的長.

【解析】根據(jù)條件可以用HL證明△ABG

≌△AFG，得到BG=FG，在Rt△GCE中，設CG=x，則BG=FG=3-x，EF=1，CE=2，根據(jù)勾股定理可列方程22+x2=（4-x）2，解得x=1.5，所以CG=1.5. 本題若是要證明點G是BC的中點，難度就會顯著增加了.

【點評】以上幾例都是通過找到一個能聯(lián)系已知條件和未知問題的直角三角形，然后利用勾股定理解決問題的實例，希望同學們能夠將這個方法作為算術思維方法的很好補充.

模型二：找到兩個聯(lián)系已知和未知的有相等邊或有公共邊的直角三角形，利用a2 1+b2 1=a2 2+b2 2或者c2 1-a2 1=c2 2-a2 2建立方程

例7 如圖7，△ABC是小新家的門口的一塊空地，三邊的長分別是AB

=13米，BC=14米，AC=15米，現(xiàn)準備以每平方米50元的單價請承包商種植草皮，問共需要多少費用？

【解析】求費用，就得求面積，要求面積，就得求高，不妨過點A作AD⊥BC，垂足為D，這樣就得到了兩個有公共直角邊的直角三角形，設BD=x，則CD=14-x，根據(jù)勾股定理可列方程132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，再根據(jù)勾股定理求得AD=12米，這樣種植草皮的費用為0.5×14×12×50=4 200（元）. 同學們可以試一試其他作高的方法.

例8 （2000·海南）鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點）相距25 km，C、D為兩村莊（視為兩個點），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如圖8），已知DA=15 km，CB=10 km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站多遠處？

【解析】根據(jù)題目要求CE=DE，圖中有兩個斜邊相等的直角三角形，可設AE=x km，則BE=（25-x） km，根據(jù)勾股定理可列方程152+x2=102+（25-x）2，解得x=10，所以E站應建在距A站10 km處.

方程思想是初中階段非常重要的數(shù)學思想方法，它在小學算術思維基礎上發(fā)展和提高，它讓數(shù)學思維變得簡單，勾股定理是一個建立方程相等關系的重要途徑，希望同學們能很好地掌握上述方法.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）