等腰三角形中的分類討論

【思維導(dǎo)圖】

【名師箴言】

三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，也是最基本的多邊形，它在幾何圖形中占有重要的地位. 眾多復(fù)雜的多邊形的問題，都可以通過分割分解成若干個(gè)三角形，運(yùn)用三角形的知識(shí)來解決；三角形的許多重要性質(zhì)，是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ).

三角形的全等和相似是研究圖形問題最基本的方法和策略. 它是研究四邊形、圓等復(fù)雜圖形以及函數(shù)等知識(shí)的重要工具.

三角形的知識(shí)在中考試題中占有相當(dāng)重要的地位，希望同學(xué)們努力掌握好基礎(chǔ)知識(shí)以及最基本的解決問題的方法和策略，能靈活地解決相關(guān)問題.

等腰三角形中的分類討論

等腰三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，中考考點(diǎn)的核心就是它與分類討論結(jié)合考查. 舉例如下：

一、 關(guān)于角的討論

例1 （2013·欽州）等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）.

A. 80°B. 80°或20°

C. 80°或50°D. 20°

【解析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論：①80°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為80°；②80°角是底角時(shí)，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°. 故選B.

【變式】若將80°改為100°要注意100°角不能做底角.

例2 在△ABC中，∠A=50°，當(dāng)∠B=_____°時(shí)，△ABC是等腰三角形.

【解析】①∠B是頂角時(shí)，∠A一定是底角，則有∠B=80°；②∠B角是底角時(shí)，∠A若是底角，則有∠B=50°，∠A若是頂角，得∠B=65°.

【點(diǎn)評(píng)】這一類問題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒有明確頂角或底角，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是解決問題的關(guān)鍵.

二、 關(guān)于邊的討論

例3 （2013·淮安）若等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)度為3和1，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）.

A. 5B. 7C. 5或7D. 6

【解析】因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為3和1兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論. ①當(dāng)3為底時(shí)，其他兩邊都為1，∵1+1<3，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去；②當(dāng)3為腰時(shí)，其他兩邊為3和1，3、3、1可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為7.

【變式1】（2013·涼山州）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x-4+=0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是______.

【答案】20.

【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.

（1） 判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況；

（2） 若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另兩條邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)及面積.

【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有實(shí)數(shù)根.

（2） 分兩種情況討論：①若腰為3，則x=3是方程的一個(gè)根，可求得三邊為3，3，2.那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為8，面積為2. ②若底為3，則b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三邊為2，2，3. 那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為7，面積為.

【點(diǎn)評(píng)】本例考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；在已知條件中沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

例4 （2013·玉林）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，已知A（4，3），P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以O(shè)，A，P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有______個(gè)，寫出其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是______.

【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì). 如圖2，從x軸上考慮，以O(shè)A為腰長(zhǎng)的等腰三角形有3個(gè)，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以O(shè)A為底邊的等腰三角形有1個(gè)，P8

，0. y軸上情況與x軸相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70

，，故滿足條件的點(diǎn)P共有8個(gè).

【變式1】如圖3，一種電子游戲，電子屏幕上有一正方形ABCD，點(diǎn)P沿直線AB左右移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)：點(diǎn)P與正方形四個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有______個(gè).

【答案】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a. 分類討論如下：①腰長(zhǎng)為a的等腰三角形有4個(gè)；②腰長(zhǎng)為a的等腰三角形有4個(gè)；③以CD為底邊的等腰三角形有1個(gè). 共9個(gè).

【變式2】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，=，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1） 求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2） 說明△AEF與△DCE相似；

（3） 當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】（1） AC=20，D（12，0）；

（2） 欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF

=∠DCE；

（3） 當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況：①當(dāng)CE=EF時(shí)，△AEF與△DCE的相似比為1，則有AE=CD=20，E（8，0）.

②當(dāng)EF=FC時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE的中點(diǎn)，△FME∽△ABC得出=，那么△AEF∽△DCE的相似比為5∶6，E

，0.

③當(dāng)CE=CF時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在.

例5 如圖5，半圓O的半徑為4 cm，AB是☉O的直徑，BC切☉O于點(diǎn)B，且BC=4 cm，當(dāng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為等腰三角形？若存在，有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P，并分別求出點(diǎn)P到線段BC的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】本例是等腰三角形與圓相結(jié)合的一個(gè)綜合題，解決問題的關(guān)鍵是分BC為腰、BC為底邊兩種情況來解決. 如圖6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分線交☉O于P3，P4.

例6 如圖7，拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B.

（1） 求拋物線解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2） 若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】本例是等腰三角形與二次函數(shù)結(jié)合的綜合題.

（1） 由該函數(shù)圖像經(jīng)過A點(diǎn)（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3

=-（x-2）2+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）.

（2） 由題意知，B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-3），AB的長(zhǎng)是，要注意的是問題中強(qiáng)調(diào)“以AB為腰”所以不必習(xí)慣性地分AB為腰，AB為底邊兩類討論，而是分P點(diǎn)在x軸或y軸上進(jìn)行討論. ①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.

【變式】如圖8，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)O. P為二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C.

（1） 求出二次函數(shù)的解析式；

（2） 當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)，并求線段PC的最大值；

（3） 當(dāng)m>0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出所有P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1） 設(shè)y=ax2+bx，把A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出解析式為y=-x2+4x；

（2） 根據(jù)點(diǎn)P（m，-m2+4m），點(diǎn)C（m，m）的坐標(biāo)代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2

+3m=-m

-2+，PC的最大值為；

（3） 當(dāng)0

當(dāng)m≥3時(shí)，PC=m2-3m，OC=m，分三種情況：

①當(dāng)OC=PC時(shí)，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；

②當(dāng)OC=OP時(shí)，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；

③當(dāng)PC=OP時(shí)，（m2-3m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m=4，P（4，0）.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）