數(shù)學(xué)美的分類及其特征研究

李鳳芝

數(shù)學(xué)是數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，不但有智育的功能，也有其美育的功能.數(shù)學(xué)美深深地感染著人們的心靈，激起人們對(duì)她的欣賞.本文分析數(shù)學(xué)美的類型和主要特征.

一、簡(jiǎn)潔美

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性.”歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡(jiǎn)單美”的典范.世間的多面體有多少？沒(méi)有人能說(shuō)清楚.但它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從歐拉給出的公式，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無(wú)數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西.如：平面圖的點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E、區(qū)域數(shù)F滿足V-E+F=2，這個(gè)公式成了近代數(shù)學(xué)兩個(gè)重要分支——拓?fù)鋵W(xué)與圖論的基本公式.由這個(gè)公式可以得到許多深刻的結(jié)論，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)與圖論的發(fā)展起了很大的作用.在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多.

二、和諧美

數(shù)論大師賽爾伯格曾經(jīng)說(shuō)，他喜歡數(shù)學(xué)的一個(gè)動(dòng)機(jī)是以下的公式：π4=1-13+15-…，這個(gè)公式實(shí)在美極了，奇數(shù)1、3、5、…這樣的組合可以給出π，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，此公式正如一幅美麗圖畫或風(fēng)景.歐拉公式：eiπ=-1，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號(hào).歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序.與歐拉公式有關(guān)的棣美弗—?dú)W拉公式是cosθ+isinθ=eiθ （1）.這個(gè)公式把人們以為沒(méi)有什么共同性的兩大類函數(shù)——三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來(lái)了.對(duì)它們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆——確是“天作之合”.

三、奇異、突變美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請(qǐng)全世界的數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)選“近50年的最佳數(shù)學(xué)問(wèn)題”，其中有一道相當(dāng)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：有哪些分?jǐn)?shù)abbc，不合理地把b約去得到ac，結(jié)果卻是對(duì)的？經(jīng)過(guò)一種簡(jiǎn)單計(jì)算，可以找到四個(gè)分?jǐn)?shù)：1664，2665，1995，4998.這個(gè)問(wèn)題涉及“運(yùn)算謬誤，結(jié)果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎？人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，到定點(diǎn)距離與它到定直線的距離之比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，常數(shù)e由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質(zhì)完全不同的曲線.而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線.

四、對(duì)稱美

在古代“對(duì)稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”.事實(shí)上，譯自希臘語(yǔ)的這個(gè)詞，原義是“在一些物品的布置時(shí)出現(xiàn)的般配與和諧”.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形.圓是中心對(duì)稱圓形——圓心是它的對(duì)稱中心，圓也是軸對(duì)稱圖形——任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸.梯形的面積公式：S=（a+b）h2，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=（a1+an）n2，其中a是上底邊長(zhǎng)，b是下底邊長(zhǎng)，其中a1是首項(xiàng)，an是第n項(xiàng)，這兩個(gè)等式中，a與a1是對(duì)稱的，b與an是對(duì)稱的，h與n是對(duì)稱的.

五、創(chuàng)新美

歐幾里得幾何曾經(jīng)是完美的經(jīng)典幾何學(xué)，其中的公理5：“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”和結(jié)論“三角形內(nèi)角和等于二直角”，這些似乎是天經(jīng)地義的絕對(duì)真理.但羅馬切夫斯基卻采用了不同于公理5的結(jié)論：“過(guò)直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內(nèi)角和小于二直角”，從而創(chuàng)造了羅氏幾何.黎曼幾何學(xué)沒(méi)有平行線.這些與傳統(tǒng)觀念相違背的理論，并不是虛無(wú)縹緲的，當(dāng)我們進(jìn)行遙遠(yuǎn)的天文測(cè)量時(shí)，用羅氏幾何學(xué)是很方便的，原子物理、狹義相對(duì)論中也有應(yīng)用；而愛(ài)因斯坦建立的廣義相對(duì)論中，較多地利用了黎曼幾何這個(gè)工具，才克服了所遇到的數(shù)學(xué)計(jì)算上的困難.每一個(gè)理論都在需要不斷創(chuàng)新，每一個(gè)奇思妙想、每一個(gè)似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地.這種開闊了我們的視野、開闊了我們的心胸、給我們完全不同感受的難道不是切入肌膚的美嗎？如果我們?cè)俅竽懺O(shè)想一下，是不是還存在一個(gè)能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學(xué)呢？事實(shí)上，通過(guò)高斯曲率可以將三種幾何統(tǒng)一在曲面的內(nèi)在幾何學(xué)中，還可以通過(guò)克萊因幾何學(xué)與變換群的觀點(diǎn)將三種幾何統(tǒng)一起來(lái).在不斷創(chuàng)新的過(guò)程中，數(shù)學(xué)得到了發(fā)展.

六、統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過(guò)程.數(shù)的概念從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無(wú)數(shù)次坎坷，范圍不斷擴(kuò)大了，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大.那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣.統(tǒng)一的目的也正如希爾伯特所說(shuō)的：“追求更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法.”愛(ài)因斯坦一生的夢(mèng)想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論.他用簡(jiǎn)潔的表達(dá)式E=mc2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說(shuō)是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品.但他還是沒(méi)有完成統(tǒng)一的夢(mèng)想.人類在不斷探尋著紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界，宇宙沒(méi)有盡頭，統(tǒng)一美也需要永遠(yuǎn)的追求.

數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的.她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會(huì)她的美學(xué)價(jià)值和她豐富、深邃的內(nèi)涵和思想及其對(duì)人類思維的深刻影響.如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們能與數(shù)學(xué)家們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會(huì)不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美.