函數(shù)y=lg f（x）值域問(wèn)題探究

瞿詩(shī)兵

函數(shù)y=lgf（x）值域問(wèn)題歷來(lái)是高中生最不容易理解，也是老師最不好教的問(wèn)題.這類問(wèn)題學(xué)生易受思維定式的影響，誤認(rèn)為只要真數(shù)f（x）>0就能保證函數(shù)值域?yàn)镽，其實(shí)不然，需要真數(shù)f（x）能取遍一切正實(shí)數(shù)，才能保證函數(shù)值域?yàn)镽.而這一點(diǎn)，正是學(xué)生最不容易理解的地方.因此需另辟蹊徑，尋找新的思維方法來(lái)幫助學(xué)生理解.

我們知道，y=lgf（x），f（x）=x， 當(dāng)x>0 時(shí)，y=lgf（x）值域?yàn)镽， 那么：（1）f（x）=x2+4x+5，（2） f（x）=x2+4x+4， （3）f（x）=x2+4x+3 時(shí)，函數(shù)y=lgf（x）值域是否仍為R 呢？

很多學(xué)生認(rèn)為 f（x）=x2+4x+5=（x+2）2+1>0，易得出y=lg（x2+4x+5）的值域?yàn)镽.相反，y=lg（x2+4x+4）的值域?yàn)镽，卻認(rèn)為f（x）=（x+2）2 ≥0真數(shù)無(wú)意義， 得出不能求其值域的錯(cuò)誤結(jié)論 .導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤的原因是什么呢？是因?yàn)閷W(xué)生對(duì) “x>0 時(shí)，y=lgx的值域?yàn)镽”的實(shí)際意義理解不清.其實(shí)這里“x>0” 指 x 能夠取遍一切正實(shí)數(shù).這句話學(xué)生是不好理解的，他們會(huì)在心里盤(pán)問(wèn)，既然x 能取遍一切正實(shí)數(shù)， 為什么書(shū)上又說(shuō) “x>0時(shí)，y=lgx的值域?yàn)镽”，因此我們應(yīng)該從學(xué)生角度出發(fā)來(lái)考慮問(wèn)題，要用學(xué)生能夠聽(tīng)得懂的語(yǔ)言和方法來(lái)進(jìn)行教學(xué).為此，可考慮作函數(shù) f（x）=x 的圖像幫助學(xué)生理解y=lgf（x）的值域問(wèn)題.

作函數(shù) f（x）=x 的圖像如圖.從圖上看x∈R，相應(yīng)f（x）∈R ，其圖上有 x>0，f（x）>0 的部分，即可敘述成x 能取遍一切正實(shí)數(shù)，才能保證y=lgf（x）的值域?yàn)镽.另外，從圖上看之所以f（x）=x 能取遍一切正實(shí)數(shù)是因?yàn)槠鋱D像與 x 軸相交，且在 x 軸上方是無(wú)限延伸的.

由此，我們得到求函數(shù) y=lgf（x）值域?yàn)镽的結(jié)論：

當(dāng)函數(shù) f（x） 的圖像與 x 軸相交且在 x 軸上方是無(wú)限延伸時(shí)，y=lgf（x）的值域?yàn)镽.

利用這個(gè)結(jié)論，問(wèn)題（2），（3）便迎刃而解了，其值域?yàn)镽.問(wèn)題 （1）值域?yàn)閇0，+∞）.

我們利用這個(gè)結(jié)論探究下面的問(wèn)題.

例 已知函數(shù)y=lg（ax2+bx+c）的值域?yàn)镽 ，求 a，b，c 滿足的條件.

解 （1）當(dāng)a≠0時(shí)，作函數(shù) f（x）=ax2+bx+c 的圖像（如圖），要使y=lg（ax2+bx+c）的值域?yàn)镽 ，需函數(shù) f（x）=ax2+bx+c 的圖像與 x軸相交且在x軸上方是無(wú)限延伸的，則a>0且b2-4ac≥0.

（2） 當(dāng)a=0 時(shí)，作函數(shù)f（x）=bx+c的圖像，要使y=lg（bx+c）的值域?yàn)镽， 需函數(shù)f（x）=bx+c的圖像與 x 軸相交且在x 軸上方是無(wú)限延伸的，則b≠0.

練習(xí)：1.已知函數(shù)y=lg（x2-2ax+3）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍.

2.已知函數(shù)y=lg（x+ax-1）的值域?yàn)镽（a>0），求a的取值范圍.

若把條件a>0改為a∈R，則a的取值范圍又如何呢？

答案 1.a≥3或a ≤ -3.

2.00，x>0時(shí)，tmin=2a-1，當(dāng)2a-1≤0，00，x1x2=a<0，∴x>0時(shí)，存在t（x）=0，且函數(shù)t在x>0時(shí)單調(diào)遞增，其圖像與x軸相交且是無(wú)限延伸的，∴y∈R.綜上，a≤14.

其實(shí)，在我們平常的教學(xué)中有很多類似的學(xué)生不好懂的問(wèn)題，我們可以想點(diǎn)子去教學(xué)生.如講函數(shù)概念時(shí)，可以告訴學(xué)生函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，“對(duì)應(yīng)關(guān)系”一般可用“函數(shù)”兩字替代，一般表格和圖像具備兩個(gè)量對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以它們一般是函數(shù)；講“充分條件”和“必要條件”時(shí)，可以告訴學(xué)生：從推證關(guān)系看，箭頭前的部分是“充分條件”，箭頭后的部分是“必要條件”等.只要我們?cè)谄匠＝虒W(xué)中鉆研學(xué)生，從學(xué)生角度出發(fā)思考問(wèn)題，然后用學(xué)生能夠理解的語(yǔ)言和方法去教學(xué)，那么學(xué)生會(huì)學(xué)得更好和更有興趣.