用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法解決變壓器鐵心截面設(shè)計(jì)問題

鄧昌瑞

【摘要】針對(duì)電力變壓器鐵心柱截面設(shè)計(jì)所涉及的截面的級(jí)數(shù)、各級(jí)的寬度和厚度的確定等問題，可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法制定其優(yōu)化方案，并在此基礎(chǔ)上能對(duì)線圈內(nèi)筒直徑和鐵心柱外接圓直徑的公差帶以及增加油道優(yōu)化設(shè)計(jì)給出合理的方案.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)規(guī)劃；優(yōu)化模型；填充率；公差帶；有效面積

一、問題的提出

電力變壓器心式鐵心柱截面通常由許多同種寬度的硅鋼片疊起來、呈上下左右軸對(duì)稱的多級(jí)階梯形結(jié)構(gòu).硅鋼片的寬度一般取為5的倍數(shù)（單位：毫米）.在鐵心柱和線圈之間要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級(jí)的厚度最小為26毫米，硅鋼片的寬度最小為20毫米.

鐵心柱有效截面的面積，等于多級(jí)鐵心柱的幾何截面積（不包括油道）乘以疊片系數(shù).而疊片系數(shù)通常與硅鋼片厚度、表面的絕緣漆膜厚度、硅鋼片的平整度以及壓緊程度有關(guān).設(shè)計(jì)時(shí)希望有效截面盡量大，既節(jié)省材料又減少能量損耗.顯然鐵心柱的級(jí)數(shù)愈多，其截面愈接近于圓形，在一定的直徑下鐵心柱有效截面也愈大.但這樣制造業(yè)工藝復(fù)雜，一般鐵心柱的級(jí)數(shù)可參照表1選取.

表1 鐵心柱直徑與級(jí)數(shù)關(guān)系

問題1：當(dāng)鐵心柱外接圓直徑為650毫米時(shí)，如何確定鐵心柱截面的級(jí)數(shù)、各級(jí)寬度和厚度，才能使鐵心柱的有效截面積最大？

問題2：實(shí)際生產(chǎn)中線圈的內(nèi)筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便于安裝和維修，設(shè)計(jì)的兩個(gè)直徑的取值范圍稱為各自的公差帶.因此可以在設(shè)計(jì)鐵心截面時(shí)稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀.請(qǐng)結(jié)合鐵心柱截面的設(shè)計(jì)而設(shè)計(jì)出二者的公差帶.

問題3：為了改善鐵心內(nèi)部的散熱，鐵心柱直徑為380毫米以上時(shí)須設(shè)置冷卻油道，具體油道數(shù)可按表2選取.油道的位置應(yīng)使其分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等.分別針對(duì)問題1和問題2的情況，增加油道要求再給出設(shè)計(jì)，并指出油道的位置.

表2 鐵心柱直徑與油道個(gè)數(shù)的關(guān)系

二、問題假設(shè)與符號(hào)說明

1.問題的假設(shè)

（1）疊片系數(shù)為一常數(shù)；（2）鐵心柱各級(jí)硅鋼片均與外接圓相切；（3）鐵心柱截面形狀的好壞由截面積與外接圓面積的比值即填充率確定；（4）硅鋼片之間是絕對(duì)密合.

2.符號(hào)說明

r：外接圓的半徑（mm）； li：第i級(jí)硅鋼片的寬度（mm）；hi：第i級(jí)硅鋼片的厚度（i=1，2，…，n）；Hi：第1級(jí)厚度的一半到第i級(jí)厚度之和；S：最大有效截面積（mm2）；Si：第1級(jí)以上油道間硅鋼片的截面積（mm2）；λ：碟片系數(shù)； e：鐵心柱外接圓的填充率；φ：線圈內(nèi)徑與鐵心柱外接圓原始間隙；ω：含油道各截面積比值相差范圍；ES：線圈的內(nèi)筒直徑的上偏差； EI：線圈的內(nèi)筒直徑的下偏差；es：鐵心柱外接圓直徑的上偏差； si：鐵心柱外接圓直徑的下偏差.

三、問題的分析

1.問題1的分析

在問題1中，設(shè)計(jì)鐵心有效截面面積最大是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.在鐵心柱截面級(jí)數(shù)的選擇（附表1）當(dāng)中可知直徑為650毫米時(shí)屬于12～14級(jí)，此時(shí)可分別求出當(dāng)級(jí)數(shù)為12、13、14時(shí)的鐵心柱截面面積的最大值，再通過比較得出最大值，同時(shí)確定鐵心柱截面的級(jí)數(shù).最后利用Lingo數(shù)學(xué)軟件可解得各級(jí)的寬度和厚度.

2.問題2的分析

要使鐵心柱具有更好的截面形狀，即使鐵心柱截面積與其外接圓面積的比值（填充率）越大.以外接圓直徑為650 mm為標(biāo)準(zhǔn)，逐步增加鐵心柱外接圓直徑，計(jì)算出相應(yīng)的填充率，進(jìn)而得到填充率大于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的取值范圍，即為鐵心柱外接圓的公差帶.

3.問題3的分析

在解決問題1的基礎(chǔ)上，增加四個(gè)油道，同樣以最大有效面積為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)油道分別位于第i級(jí)與j級(jí)之間和第p級(jí)和q級(jí)之間，則j級(jí)以上到第p級(jí)和q級(jí)以上到第n級(jí)的厚度分別加六毫米，并加入油道相鄰之間的截面面積大約相等為約束條件，從而建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，對(duì)油道位置的確定以及對(duì)各級(jí)寬度和厚度的求解.

四、問題的求解

1.求最大有效截面積的優(yōu)化模型

（1）目標(biāo)函數(shù)的建立

根據(jù)問題1的分析可知：將鐵心柱有效截面達(dá)到最大作為目標(biāo)函數(shù).鐵心柱截面面積等于各級(jí)鐵心柱面積（各級(jí)的厚度乘以寬度）之和，由于心式鐵心柱截面采用多級(jí)階梯形重迭設(shè)計(jì)，記第i級(jí)厚度為hi，寬度為li（i=1，2，…），于是有n級(jí)鐵心柱最大有效截面積（見式1）.

maxS=λh12l1+2∑ni=2hili.（1）

（2）約束條件的建立

由問題1的分析可知： 第一級(jí)厚度的一半到第i級(jí)厚度之和Hi，有 Hi=h1/2+∑ij=2hj.

由幾何知識(shí)可知：第一級(jí)厚度的一半到第i級(jí)厚度之和的平方加上第i級(jí)寬度li一半的平方和等于外接圓半徑的平方（勾股定理），即有（見式2）：

H2i+li22=r2.（2）

同時(shí)，由題意可知第i級(jí)的寬度一定會(huì)大于第i+1級(jí)的寬度，即：li>li+1.

硅鋼片的寬度一般取為5的倍數(shù)（單位：毫米）.因?yàn)樵诙嗉?jí)階梯形和線圈之間需要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級(jí)的厚度最小為26毫米，硅鋼片的寬度最小為20毫米，所以存在：li=5ki，h1≥26，ln≥20.

由此可得到鐵心柱有效截面積最大的優(yōu)化模型（見式3）.

V：maxS=λh12l1+2∑ni=2hili

s.t.Hi=h12+∑i2hi，H2i+li22=r2，

li=5ki，h1≥26，ln≥20，ki∈N+， （i=1，2，…，n）. （3）

將r=325 mm代入上式，運(yùn)用Lingo11.0數(shù)學(xué)軟件編程可求得當(dāng)n取各級(jí)的橫截面積及各級(jí)厚度和寬度，并由此可得到當(dāng)鐵心柱截面級(jí)數(shù)為14級(jí)時(shí)有效截面積最大S=320753.1λ.

根據(jù)電力變壓器鐵心柱設(shè)計(jì)疊片系數(shù)相關(guān)信息有（見表3）：

表3 疊片系數(shù)與有效截面積對(duì)應(yīng)關(guān)系

從而得到優(yōu)化后的鐵心柱的截面設(shè)計(jì)結(jié)果.

2.公差帶的設(shè)計(jì)問題

實(shí)際生產(chǎn)中線圈的內(nèi)筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便于安裝和維修，設(shè)計(jì)的兩個(gè)直徑的取值范圍稱為各自的公差帶.因此可以在設(shè)計(jì)鐵心截面時(shí)稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀.

要求增加截面的大小，使鐵心柱有更好的截面形狀，將截面形狀的好壞用鐵心柱對(duì)外接圓的填充率（截面積與外接圓面積的比值）來表示，填充率越大，鐵心柱截面更趨近于圓.當(dāng)外接圓直徑增加時(shí)，外接圓面積增大，鐵心截面積也隨著增加.根據(jù)問題1的分析，可求出外接圓直徑增加到某值時(shí)最大截面積.模型如下：

算出前面式中r增加時(shí)對(duì)應(yīng)的S，求出填充率e=Sπr2隨r的變化情況.

以r=650 mm時(shí)，級(jí)數(shù)為14級(jí)的截面的填充率為標(biāo)準(zhǔn)：e1=S650πr2=0.96657656078212，得到當(dāng)e>e1時(shí)，外接圓直徑可增加的范圍，可解得外接圓直徑r以0.2增加時(shí)e的變化情況.解得當(dāng)r增加到第16個(gè)點(diǎn)后，e值小于e1.由此得到鐵心柱外接圓可增加直徑為：0.32 mm.以650 mm為基準(zhǔn)尺寸，得到鐵心柱外接圓的偏差范圍為：es=0.32，ei=0.

為了便于安裝和維護(hù)，線圈內(nèi)筒和鐵心柱為間隙配合，記生產(chǎn)設(shè)計(jì)最小間隙為φ，則線圈內(nèi)筒偏差為： ES=φ+0.32，EI=φ.

3.油道位置的選定問題

針對(duì)問題1中外接圓直徑為650毫米時(shí)油道的位置進(jìn)行計(jì)算，由表2可知應(yīng)設(shè)計(jì)6 mm的油道2個(gè)，因?yàn)榻孛嬖趫A內(nèi)上下、左右對(duì)稱，故油道也是上下對(duì)稱的（上下各兩個(gè)）.要使油道相鄰兩部分鐵心柱的截面積盡量相等，并使其有效截面積最大.在問題1的基礎(chǔ)上，以最大有效截面積為目標(biāo)函數(shù)，增加油道.

設(shè)油道位于第i級(jí)與第j級(jí)和第p級(jí)與q級(jí)之間（i+1=j≤n）， 則第一級(jí)厚度的一半到第m級(jí)厚度之和Hi（見式4）.

Hm=h12+∑m1hm 2≤m≤i，

h12+∑m1hm+6 j≤m

h12+∑m1hm+12 q≤m≤n.（m=1，2，…，n）（4）

第一級(jí)中心水平線到第一油道的截面積有：S1=h12l1+∑i2hili；第一油道到第二油道之間的截面積有：S2=∑pjhplp；第二油道以上截面積有：S3=∑nqhnln.

令S1，S2，S3存在關(guān)系：1-2S1S2≤ω，1-2S1S3≤ω（ω為面積比值相差范圍）.2S1S2比值越大，油道相鄰兩部分鐵心柱截面積越趨近于相等，即ω越小.以ω取值為約束條件，鐵心柱有效截面積最大為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型（見式5）.

V：maxS=λh12l1+2∑nm=2hmlm

s.t.H2m+lm22=r2，1-2S1S2≤ω，

1-2S1S3≤ω，

lm=5km，h1≥26，ln≥20，km∈N+.（m=1，2，…，n）（5）

先令ω取較小的一個(gè)數(shù)，算出油道位于各級(jí)之間鐵心柱截面積S的最大值，將它們進(jìn)行比較，最大之時(shí)即為油道的設(shè)計(jì)位置.逐漸增加ω的取值重復(fù)上面的步驟.找出ω盡量小，S盡量大的一個(gè)值作為鐵心及油道的設(shè)計(jì)方案.

當(dāng)ω分別等于0.05和0.1時(shí)，可以確定當(dāng)ω=0.1時(shí)，可得到半圓中第2油道位置位于第2，3級(jí)之間和第5，6級(jí)之間時(shí)，為截面的最佳設(shè)計(jì)，此時(shí)其油道間截面積分別為270243.8與270439.7，油道間截面積分別為270435.4與282580.6.并可以計(jì)算出各級(jí)的寬度和厚度，可以知道各級(jí)中最大幾何截面積為S=306543.5 mm2.油道之間的截面積分別為（mm2）： 62496.91， 58221.24， 58504.31.

五、模型的評(píng)價(jià)

本文對(duì)電力變壓器鐵心柱截面積優(yōu)化設(shè)計(jì)給出的算法達(dá)到了對(duì)其優(yōu)化的目的，在直徑一定時(shí)，相對(duì)原來級(jí)數(shù)我們所確定的級(jí)數(shù)大大節(jié)省了能源，也將大大提高生產(chǎn)效率，從而減少成本.

【參考文獻(xiàn)】

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