例談單位圓在解題中的妙用

譚炳華

【摘要】在三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)習(xí)和推導(dǎo)中，我們引入了單位圓，三角函數(shù)與單位圓之間有著非常巧妙的聯(lián)系，比如說任意角的三角函數(shù)值都可以通過單位圓來確定，可以是單位圓上某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，還可以是用單位圓上的一些三角函數(shù)線來確定.單位圓在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究當(dāng)中，占據(jù)著非常重要的地位.單位圓為三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和推導(dǎo)帶來了一些更加便利的方法，同樣的，在三角函數(shù)的相關(guān)問題求解過程中，單位圓也是最常用到的一種方法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；單位圓

在教學(xué)中，教師也常常強(qiáng)調(diào)，在解決問題時(shí)可以通過畫草圖的方法來幫助自己理清思路，分析已知條件，更快速地尋找到正確的解題方法.比如說幾何體，我們必須要會(huì)畫圖.那么解三角函數(shù)相關(guān)的問題呢？我們同樣可以畫圖，結(jié)合坐標(biāo)系，用單位圓的示意來幫助理清題目意思，對(duì)解決三角函數(shù)的問題有很大的幫助.下面我將通過若干例題來談?wù)勗诮忸}中如何使用單位圓.

一、求 值

求值是三角函數(shù)中最常見的一類題型，三角函數(shù)的求值一般都不是很難，因?yàn)楹瘮?shù)不會(huì)太復(fù)雜，利用單位圓輔助求三角函數(shù)的值，可以把問題變得更加簡(jiǎn)單.

圖 1例1 已知關(guān)于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在區(qū)間（0，2π）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，求cos（α+β）的值.

解析 先假設(shè)點(diǎn)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），我們很容易就可以發(fā)現(xiàn)，這兩點(diǎn)剛好是在單位圓x2+y2=1上，根據(jù)已知條件中α，β是方程3cosθ+sinθ+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，我們也可以得出A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）這兩點(diǎn)是在直線l：3x+y+a=0上，再由這些信息畫出一個(gè)示意圖，如圖1所示.

結(jié)合相關(guān)已知條件，并根據(jù)圖1，我們可以直接得出直線l的傾斜角2π3，圖中弦AB的中垂線OC的傾斜角則剛好是π6，如果設(shè)角γ表示以邊OC為終邊的角，并且γ∈0，2π，那么可以得出γ=7π6.再由圖1可得：γ-α=β-γ，即α+β=2γ=7π3，那么cos（α+β）=cos7π3=12.

二、證明題

在證明題中，等式或者是不等式和比較大小的證明也是常出現(xiàn)的題型，特別是有關(guān)三角函數(shù)的等式或不等式，在證明的過程中，同樣可以巧妙地使用單位圓來輔助證明.

圖 2例2 已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，其中0<α<β<γ<2π，那么，求證等式α+γ=2β.

證明 假設(shè)點(diǎn)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），這三個(gè)點(diǎn)剛好都在單位圓x2+y2=1上，如圖2所示.

因?yàn)镺A=OB=OC，那么點(diǎn)O剛好是三角形ABC的外心，又因?yàn)閏osα+cosβ+cosγ=0，所以cosα+cosβ+cosγ3=0，sinα+sinβ+sinγ3=0，O點(diǎn)又是三角形ABC的重心，根據(jù)重心和外心這兩心合一，可知三角形ABC是一個(gè)正三角形.又因?yàn)?<α<β<γ<2π，由圖可知，β=α+2π3，β=γ-2π3，也就是α+γ=2β.

三、求函數(shù)值域

求函數(shù)的值域也是有關(guān)三角函數(shù)的常見題型，只要是和三角函數(shù)相關(guān)，那么單位圓的利用幾率就是非常大的，學(xué)生們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，就要養(yǎng)成這樣的一種解題思維習(xí)慣，對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)問題，我們首先要考慮能否用單位圓來表示，結(jié)合圖形深入分析題目，并逐步解題.

圖 4例3 求y=sinxcosx+2的值域.

解析 首先，可以對(duì)該已知函數(shù)進(jìn)行變形，把函數(shù)表示成一種更加容易理解的形式，如把y=sinxcosx+2變形為y=sinx-0cosx--2，那么這個(gè)函數(shù)我們就可以把它看成是以原點(diǎn)為圓心，在單位圓上的點(diǎn)cosx，sinx與點(diǎn)P（-2，0）連線的斜率k.由此可得，本題中所求的函數(shù)的值域，其實(shí)就是該連線的斜率k的取值范圍.根據(jù)題意，先畫出示意圖.如圖4，當(dāng)直線y=k（x+2）與單位圓x2+y2=1相切時(shí)，斜率k有最大值和最小值，得-33≤k≤33，即函數(shù)y=sinxcosx+2的值域?yàn)?33，33.

從上面幾道題來看，單位圓在三角函數(shù)的相關(guān)問題中運(yùn)用非常多，包括不同類型的題目，除了上面幾種常見的類型之外，還可以用于解決解不等式和復(fù)數(shù)的問題.將三角函數(shù)與單位圓聯(lián)系起來，可以更加直觀地理解好題意，并根據(jù)圖像找到解決問題的便利方法.

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