高考數(shù)列通項的解題思想

安艷偉

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)核心課程，高考熱點問題之一，本文從數(shù)學(xué)思想的角度來闡述高考數(shù)列通項公式的常用方法和策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；高考；數(shù)學(xué)思想

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)核心課程，是特殊的函數(shù)，在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，是高考熱點問題之一，本文從數(shù)學(xué)思想的角度來闡述高考數(shù)列通項公式的常用方法和策略.

1.數(shù)學(xué)猜想

例1 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+8（n+1）（2n+1）2（2n+3）2，a1=89，求數(shù)列{an}的通項公式.

點評 不完全歸納是數(shù)學(xué)的主要猜想方法，根據(jù)遞推關(guān)系和a1=89，得a2=2425，a3=4849，……所以猜測an=（2n+1）2-1（2n+1）2.

例2 在數(shù)列{an}中，已知a1=1，當(dāng)n≥2時，有an=an-1+2n-1（n≥2），求數(shù)列的通項公式.

解析 ∵an-an-1=2n-1（n≥2），

∴a2-a1=1，

a3-a2=3，

a4-a3=5，

an-an-1=2n-1.

上述n-1個等式相加可得：an-a1=n2-1，

∴an=n2.

例3 在數(shù)列{an}中，已知a1=1，有nan-1=n+1an，（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式.

解析 an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1=nn+1·n-1n·n-2n-1·…·34·23·1=2n+1.

又∵a1也滿足上式，∴an=2n+1，（n∈N*）.

例4 若數(shù)列{an}滿足an+1=2an，（0≤an≤12）

2an-1，（12≤an<1），若a1=67，則a20的值為.

解 根據(jù)數(shù)列{an}的遞推關(guān)系得它的前幾項依次為：67，57，37，67，57，37，67，…，我們看出這個數(shù)列是一個周期數(shù)列，三項為一個周期，∴a20=a2=57.

點評 三個試題都以歸納為方法，通過累加、累乘等方法探尋規(guī)律性問題.

2.方程思想

例5 （2013年新課標(biāo)Ⅱ卷）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（ ）.

例6 （2013年高考遼寧卷）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和.若a1，a3是方程x2-5x+4=0的兩個根，則S6=.

點評 兩個試題都以方程思想構(gòu)題，側(cè)重雙基的培養(yǎng).

3.函數(shù)思想

例7 （2010年江西高考）等比數(shù)列{an}中，a1=2，a8=4，函數(shù)f（x）=x（x-a1）（x-a2）·…·（x-a8），則f′0=（ ）.

例8 （2011年江蘇高考）設(shè)1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.

點評 數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此數(shù)列的單調(diào)性、周期性、最值性成為高考的熱點命題之一.

4.整體與局部

例9 （2010年浙江理數(shù)）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2+a5=0，則S5S2=.

例10 （2013年湖南高考）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn=（-1）nan-12n，n∈N，則：（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=.

點評 局部化思想考查學(xué)生分析問題的能力，整體與局部轉(zhuǎn)化是重要的解決問題的手段.

【參考文獻】

[1]秦德生，郭民，等.高考與大學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)考點大全與真題解析[M].東北師范大學(xué)出版社，2013.

[2]高慧明.數(shù)列通項的求法在2008年高考中的展示[J].試題與研究，2008：20.