與雙曲線相關(guān)的一類正三角形個(gè)數(shù)問題的研究

彭鋒 李遠(yuǎn)游

【摘要】數(shù)學(xué)里的問題常常會(huì)有來有往，正反輝映.對(duì)于圓錐曲線的研究也是如此.將一道高考題目中給定的焦點(diǎn)，拓展到拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，筆者將類似問題延伸到雙曲線.

【關(guān)鍵詞】雙曲線；正三角形；動(dòng)態(tài)演示

2011年高考數(shù)學(xué)湖北卷文理科選擇題中有如下一題： 記滿足兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p>0）上，另外一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)為n，則（ ）.

A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3

對(duì)于這道題，文獻(xiàn)從試題的背景、典型的解法等方面進(jìn)行了詳盡的解讀，而且將題目中給定的焦點(diǎn)，拓展到拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，筆者提出了如下問題.

一、提出問題

若將題目中拋物線換成雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，將焦點(diǎn)換為x軸上任一點(diǎn)，其他條件不變，則滿足條件的正三角形個(gè)數(shù)又會(huì)是什么樣的情況呢？

二、探究問題

設(shè)正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)E（λ，0）（λ∈R），在雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A（x1，x2）和B（x2，y2），則x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1.由|EA|=|EB|得（x1-λ）2+y21=x2-λ2+y22，即（x1-λ）2+x21a2-1b2=x2-λ2+（x22a2-1）b2，整理得：（x1-x2）c2a2（x1+x2）-2λ=0.①

因此我們可以按如下兩種情形進(jìn)行探究.

1.兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱

當(dāng)x1=x2時(shí)，則y1=-y2，即A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.令線段AB中點(diǎn)為H，則由△EAB為正三角形可得|EH|=32|EA|，即|x1-λ|=32（x1-λ）2+y21.消去y1并整理得：（a2-3b2）2x21-2λa2x1+（λ2+3b2）a2=0.②

（1）若a2-3b2=0，則方程②可化為2λx1=λ2+3b2.由于λ=0時(shí)b=0，不合題意，所以λ≠0，x1=λ2+3b22λ，即此時(shí)只有一個(gè)自身關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

（2）若a2-3b2≠0，則方程②是一元二次方程.由判別式Δ1≥0得λ2≥a2-3b2.

ⅰ.當(dāng)a2-3b2<0即a<3b時(shí)，Δ1≥0恒成立，即方程②恒有兩個(gè)根.因此，此時(shí)總有關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

ⅱ.當(dāng)a2-3b2>0即a>3b時(shí)，由λ2≥a2-3b2得λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2.故當(dāng)λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2時(shí)方程②有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)有關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

因此，我們可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)a=3b時(shí)，只有一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形（如圖1所示△EAB）.

（2）當(dāng)a<3b時(shí)，總有關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形（如圖2所示△EA1B1和△EA2B2）.

（3）當(dāng)a>3b時(shí)，只有當(dāng)λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2時(shí)，有兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形（如圖3所示△EA1B1和△EA2B2）.

圖 1 圖 2

2.兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱

當(dāng)x1≠x2時(shí)，則由①可知，c2a2（x1+x2）-2λ=0，即x1+x2=2λa2c2.設(shè)AB的中點(diǎn)為H（x0，y0），則x0=λa2c2.又由y21-y22=（x21a2-1）b2-（x22a2-1）b2，可得：（y1-y2）（y1+y2）=b2a2（x1-x2）（x1+x2）.

（1）若y1=y2，則x1=-x2，即A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，E點(diǎn)位于原點(diǎn)處，此時(shí)只要雙曲線的一條漸近線斜率大于3即可有兩個(gè)滿足條件的正三角形（如圖4所示的△EA′B′和△EAB）.

圖 3 圖 4

（2）若y1≠y2，則令m=x1-x2y1-y2，得y1+y2=2λmb2c2，故Hλa2c2，λmb2c2.從而可設(shè)直線AB的方程為x=m（y-λmb2c2）+λa2c2，代入雙曲線方程消x可得：

（b2m2-a2）c4y2-2mλb2c2（b2m2-a2）y+λ2a2b2（a2-2b2m2）+λ2m4b6-a2b2c4=0.③

當(dāng)Δ2≥0時(shí)，|y1-y2|=2abc2c4-λ2a2+λ2b2m2b2m2-a2，

|AB|=1+m2|y1-y2|=2ab1+m2c2·c4-λ2a2+λ2b2m2b2m2-a2，④

|EH|=（x0-λ）2+y20=|λ|b2c21+m2.⑤

又由△EAB為正三角形可得|EH|=32|AB|，即

（3a2-b2）m2=a2（3a2-b2）b2-3a2c4λ2b2.

若3a2-b2=0，則易知上式不成立.故3a2-b2≠0，于是可得

m2=a2b2-3a2c4λ2b2（3a2-b2）.⑥

將⑥代入Δ2可得Δ2>0.因?yàn)閙≠0，所以m2>0，于是可得λ2>3c43a2-b2.

ⅰ.若3a2-b2>0即a>33b時(shí)，有λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，所以此時(shí)方程②有兩個(gè)不同實(shí)根，即此時(shí)有兩個(gè)以x軸為對(duì)稱軸的正三角形.

ⅱ.若3a2-b2<0即a<33b時(shí)，λ2>3c43a2-b2恒成立，此時(shí)有兩個(gè)以x軸為對(duì)稱軸的正三角形.

因此，我們可得出如下結(jié)論：

（1）當(dāng)a=33b時(shí)，不存在此類以x軸為對(duì)稱軸的正三角形.

（2）當(dāng)a>33b，且λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2時(shí)，有兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形（如圖5所示的△EA1B1和△EA2B2）.

（3）當(dāng)a<33b時(shí)，有且僅有兩個(gè)以x軸為對(duì)稱軸的正三角形（如圖6所示的△EAB和△EA′B′）.

圖 5 圖 6

三、結(jié)論

綜上，我們可將所有結(jié)論歸納為如下定理：

定理：若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)E位于雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的對(duì)稱軸上，其坐標(biāo)為E（λ，0）（λ∈R），另兩個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線C上，則

（1）當(dāng)a<33b時(shí)，有且僅有四個(gè)滿足條件的正三角形，其中兩個(gè)是分別關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的正三角形，另兩個(gè)是關(guān)于x軸成對(duì)稱圖形的正三角形.

（2）當(dāng)a=33b時(shí)，有且僅有兩個(gè)滿足條件且關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

（3）當(dāng)33b3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，才有兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

（4）當(dāng)a=3b時(shí)，有且僅有一個(gè)關(guān)于x軸成對(duì)稱圖形的正三角形.而λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，才有兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

（5）當(dāng)a>3b時(shí)，λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2時(shí)，有兩個(gè)關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的正三角形，而λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，才有兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的正三角形.

四、動(dòng)態(tài)演示與分析

回顧以上探究過程，從幾何直觀上觀察，考慮到雙曲線和正三角形的雙重對(duì)稱性，我們可以將以上定理的結(jié)論看作是如下動(dòng)態(tài)演變過程：

由于情況較多，且分析方法類似，故筆者只以33b

（1）當(dāng)E（λ，0）在x軸上自原點(diǎn)向右移動(dòng)到點(diǎn)（a，0）處的過程中，夾角為60°的兩條相交直線EA，EB與雙曲線有四個(gè)交點(diǎn)，從而滿足條件的正三角形有兩個(gè)，且在E點(diǎn)異側(cè)（如圖7所示的△EA1B1和△EA2B2）.當(dāng)E點(diǎn)與雙曲線右頂點(diǎn)重合時(shí)，兩個(gè)正三角形又重合為一個(gè)（如圖8所示的△EA2B2）.

圖 7 圖 8

（2）當(dāng)E（λ，0）自點(diǎn)（a，0）向右移動(dòng)到點(diǎn)3c23a2-b2，0處的過程中，夾角為60°的兩條相交直線EA，EB與雙曲線有四個(gè)交點(diǎn)，從而滿足條件的正三角形從有且僅有一個(gè)變?yōu)橛星覂H有兩個(gè)，且在E點(diǎn)同側(cè)（如圖2所示的△EA1B1和△EA2B2）.

圖 9（3）一旦點(diǎn)E（λ，0）越過點(diǎn)3c23a2-b2，0處，保持繼續(xù)向右移動(dòng)，則滿足條件的正三角形派生出兩種類型，其中一種類型仍是由原來夾角為60°的兩條相交直線EA，EB所形成的關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)正三角形，如圖2所示的△EA1B1和△EA2B2；而另一類則是夾角為60°的另外兩條相交于E點(diǎn)的直線所形成的關(guān)于x軸成對(duì)稱圖形的兩個(gè)正三角形（如圖9所示的△EAB和△EA′B′）.

而這兩個(gè)正三角形又可看成圖2中△EA1B1脫離平衡位置從左向右對(duì)稱偏離派生出的兩個(gè)新的滿足條件的正三角形.