2012年桂林市一道中考壓軸題的賞析

胡錦鳳 高曉兵

數(shù)學(xué)中考壓軸題是數(shù)形結(jié)合的精髓，是整張?jiān)嚲淼闹刂兄?，主要考查學(xué)生的綜合、應(yīng)用、探究型題的求解能力.而此類題往往是出卷教師多年的教研經(jīng)驗(yàn)與心血凝結(jié)而成的成果， 題型新穎，具有獨(dú)到的方式與思路，別有不一樣的精彩.以下是2012年廣西桂林?jǐn)?shù)學(xué)中考的一道壓軸題，讓我們通過其“多元”的解答，品嘗其精彩.

一、試題呈現(xiàn)

（2012年廣西·桂林）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC的中點(diǎn).

（1）若E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE=CF，求證：△AED≌△CFD；

（2）當(dāng)點(diǎn)F，E分別從C，A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿CA，AB運(yùn)動，到點(diǎn)A，B時(shí)停止.設(shè)△FED的面積為y，F(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F，E分別沿CA，AB的延長線繼續(xù)運(yùn)動，求此時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式.

二、解法探討

本題的第（1）問較為容易，學(xué)生結(jié)合圖形利用三角形全等得解，方法也較為統(tǒng)一.本題難點(diǎn)主要在第（2）、（3）問，而第（3）問的切入點(diǎn)第（2）問，只要掌握了第（2）問的解法，第（3）問也就迎刃而解，本文主要介紹第（2）問的五種解法，供大家交流，歡迎指正.

解法一（割補(bǔ)法）

解 依題意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF

=S△ADC=9.

∴S△EDF=S四邊形AEDF-S△AEF=9-12（6-x）x=12x2-3x+9.

∴y=12x2-3x+9.

解法二（割補(bǔ)法）

解 依題意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

又∵S△BDE+S△DEF+S△AEF+S△DFC=S△ABC，

∴S△DEF=S△ABC-S△BDE-S△DFC-S△AEF

=S△ABC-S△BDE+S△ADE-S△AEF

=S△ABC-S△ABD-S△AEF

=18-9-x6-x2.

∴y=12x2-3x+9.

點(diǎn)評 解法一和二均系求圖形面積常用的割補(bǔ)法，根據(jù)第（1）問中的三角形全等，利用全等的三角形面積相等來轉(zhuǎn)換面積得解.當(dāng)然方法一與方法二相比較，法一更簡便快速.

解法三（直角三角形的特有面積法）

解 依題意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

∴∠ADE=∠CDF，ED=DF.

∴∠EDF=90°.

可知△EDF是等腰直角三角形.

∵AE2+AF2=EF2，

ED2+DF2=EF2，

∴AE2+AF2=ED2+DF2.

∴AE2+AF2=2ED2.

即 x2+（6-x）2=2 ED2.

∴S△DEF=ED·DF2=DF22=x2+（6-x）42.

∴y=12x2-3x+9.

解法四（直角三角形的特有面積法）

解 ∵△AED≌△CFD，

∴∠ADE=∠CDF，ED=DF.

∴∠EDF=90°.

可知△EDF是等腰直角三角形.

過點(diǎn)F作FH垂直CD于點(diǎn)H.

設(shè) FC=x，則有

FH=HC=22x，

DH=DC-HC=32-22x.

勾股定理得 DF2=DH2+HF2

=32-22x2+22x2

=x2-6x+18.

∴S△EDF=ED·DF2=DF22=x2-6x+182.

∴y=12x2-3x+9.

點(diǎn)評 上述的方法三和四主要是利用三角形的面積公式來計(jì)算解答，而且是直角三角形特有面積公式.方法三是通過等式的轉(zhuǎn)換得出兩直角邊的積，而方法四是更是迎難而上，巧填輔助線，利用勾股定理求出三角形DEF的直角邊，再求面積.這兩種方法，各有妙處，均不失為一種妙想.

解法五（取特殊值法）

解 依題意可知：在E，F(xiàn)運(yùn)動的過程中，F(xiàn)點(diǎn)必經(jīng)過三個(gè)特殊的點(diǎn)，開始在C點(diǎn)，再到AC的中點(diǎn)，終點(diǎn)是A，所構(gòu)成的等腰直角三角形EDF的面積也存在三個(gè)特殊值.

設(shè)FC=x ，S△DEF=y.

當(dāng)x=0時(shí)，y=9.

當(dāng)x=3時(shí)，y=92.

當(dāng)x=6時(shí)，y=9.

設(shè)函數(shù)為y=ax-32+92 過點(diǎn)（0，9），

解得a=12.

∴y=12x2-3x+9.

點(diǎn)評 此法實(shí)屬最險(xiǎn)的一種，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，取特殊值法是選擇題的常用多種方法中其中的一種，但是在壓軸題中甚為少見.由于此題是有關(guān)于二次函數(shù)的問題，利用圖形運(yùn)動過程中產(chǎn)生的特殊的點(diǎn)得到x與y特殊的對值，再根據(jù)待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，思路新穎，解法簡單，效果甚佳，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“特殊與一般”的辯證唯物主義思想.

三、試題及解法賞析

（1）本題看似平實(shí)，但構(gòu)思巧妙，是在三角形全等、直角三角形的應(yīng)用、函數(shù)、幾何圖形等知識的交匯處設(shè)計(jì)的，考查了數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動、建模等重要的數(shù)學(xué)思想和求圖形面積的基本方法，同時(shí)考查學(xué)生捕捉圖形信息的能力及綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.本題難度適中，具有層次感.

（2）解法多樣，既考查基本方法，也考查思維能力.解法一、二運(yùn)用面積的割或補(bǔ)的方法來求出三角形DEF的面積，進(jìn)而得到二次函數(shù)的關(guān)系式.解法三、四則是通過勾股定理，由已知邊的量轉(zhuǎn)換成未知邊的量求出直角三角形的面積，得到函數(shù)關(guān)系式.解法五是利用點(diǎn)F運(yùn)動的路程中必經(jīng)過的特殊值來求出特殊點(diǎn)（x，y），然后利用待定系數(shù)法求出△DEF的面積進(jìn)而得到x與y的函數(shù)關(guān)系.解法三、四是解決直角三角形的基本方法，但是運(yùn)算量較大，需要學(xué)生有清晰的思路和扎實(shí)的基本功.解法五則是以時(shí)間t為切入點(diǎn)，運(yùn)算量相對較小.將題目所給的運(yùn)動與圖形有機(jī)結(jié)合，考查了學(xué)生的解題靈活性，簡潔、流暢. 同時(shí)解法一利用圖形的代換直接求出面積，顯得很自然，與其他解法比較，更勝一籌.

四、解后反思

其一，解題的關(guān)鍵是會分析題目讀取圖形信息，且結(jié)合起來找到數(shù)學(xué)的規(guī)律解決問題，挖掘思路，尋求求解的方法.

其二，本題的第一問是三角形全等的問題，第二問和第三問是有關(guān)于運(yùn)動求面積的問題，起點(diǎn)低，但問題設(shè)計(jì)有鮮明的層次感， 它以三角形為背景，線段之間的數(shù)量關(guān)系為載體，將直角三角形的知識與方程函數(shù)思想、建模思想等巧妙結(jié)合在一起，讓不同層次的學(xué)生都能得到一定的思考和發(fā)揮.試題看似平凡，可竟有多種解答，既能啟迪思維，又能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功，考查數(shù)形結(jié)合的思想.充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精彩和魅力.