數(shù)列求和的常見方法

王立高

在近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中，數(shù)列的求和是必考的內(nèi)容之一，而求和的數(shù)列多以已知數(shù)列的函數(shù)式給出，許多數(shù)列常常無法直接求和，需要拆項(xiàng)分解，裂項(xiàng)相消或錯(cuò)位相減，或其他方法最終求出結(jié)果，下列簡介幾種常用方法.

一、通項(xiàng)分解法

將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后重新分組，將一般數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題，把這種方法稱為通項(xiàng)分解法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是通項(xiàng)變形.

例1 （2010.全國卷Ⅱ文）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=21a1+1a2，a3+a4+a5=641a3+1a4+1a5，①求{an}的通項(xiàng)公式；

②設(shè)bn=an+1an2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解析 ①設(shè)公比為q，則an=a1qn-1，由已知有

a1+a1q=21a1+1a1q，

a1q2+a1q3+a1q4=641a1q2+1a1q3+1a1q4.

化簡得a21q=2，

a21q6=64.又a1>0，故a1=1，q=2.

所以an=2n-1.

② 由①知bn=an+1an2=a2n+1a2n+2=4n-1+14n-1=2.

所以Tn=1+4+…+4n-1+1+14+…+14n-1+2n

=4n-14-1+1-14n1-14+2n=13（4n-41-n）+2n+1.

二、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些拆開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，把沒有抵消掉的合并化簡，從而達(dá)到求和目的.

例2 （2010山東理）已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前幾項(xiàng)和為Sn.①求an及Sn，②令bn=1a2n-1（n∈N+），求數(shù)列{bn}的前幾項(xiàng)和Tn.

解 ①設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3=7，a5+a7=26.

所以a1+2d=7，

2a1+10d=26. 解得 a1=3，

d=2.

由公式知an=2n+1，Sn=n（n+2）.

②因?yàn)閍n=2n+1，所以a2n-1=4n（n+1），

因此bn=14n（n+1）=141n-1n+1

故Tn=b1+b2+…+bn=141-12+12-13+…+1n-1n+1=141-1n+1=n4（n+1）.

所以數(shù)列{bn}的前幾項(xiàng)和Tn=n4（n+1）.

三、錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積組成，則求和可采用錯(cuò)位相減法.運(yùn)用此方法時(shí)，一般和式比較復(fù)雜，運(yùn)算量大，易會(huì)不易對，應(yīng)特別細(xì)心，解題時(shí)若含參數(shù)，要注意分類討論.

例3 （09山東）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對任意的n∈N+，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b>0且b≠1，b、r均為常數(shù)）的圖像上，①求r的値；

②當(dāng)b=2時(shí)，記bn=n+14an（n∈N+），求數(shù)列{bn}的前幾項(xiàng)和Tn.

解析 ①由題意，Sn=bn+r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=bn-1+r，

所以an=Sn-Sn-1=bn-1（b-1）.

由于b>0且b≠1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列

又a1=b+r，a2=b（b-1），a2a1=b，即b（b-1）b+r=b.

∴r=-1.

②由①知，n∈N+，an=（b-1）bn-1，當(dāng)b=2時(shí)，an=2n-1.

所以bn=n+14×2n-1=n+12n+1，

Tn=222+323+424+…+n+12n+1，

12Tn=223+324+…+n2n+1+n+12n+2.

兩式相減，得

12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2

=12+123（1-12n-1）1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2.

故 Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1.