例談如何在解題教學(xué)中反思和總結(jié)

陳光耀

【摘要】解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的一部分，如何來提高解題教學(xué)的質(zhì)量，在解題教學(xué)中提高學(xué)生們的能力，是高中數(shù)學(xué)教師所面臨的共同問題.解題教學(xué)的質(zhì)量關(guān)系著整個(gè)課堂的教學(xué)質(zhì)量.教師們必須重視解題教學(xué)的方法，特別是在解題教學(xué)中的反思和總結(jié).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；解題教學(xué)；反思策略

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，解題教學(xué)是一個(gè)重要的組成部分，特別是在復(fù)習(xí)階段，解題作為復(fù)習(xí)的一種重要的教學(xué)方式，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的、鞏固學(xué)生們的數(shù)學(xué)知識的重要途徑和方法.在解題課堂中，通常都是講解一些典型的例題來引導(dǎo)學(xué)生們掌握方法，實(shí)現(xiàn)知識的遷移，舉一反三，學(xué)會(huì)解決各類問題.如果在講解某道題后而不懂得反思和總結(jié)，那么，這樣的教學(xué)效率是非常低的，學(xué)生們遇到其他問題還是找不到方法.因此，在解題教學(xué)中反思和總結(jié)是非常有必要的，這才是培養(yǎng)學(xué)生們解決問題的能力的一種有效方式.在解題教學(xué)中，我們又該如何來反思呢？反思和總結(jié)要達(dá)到怎么樣的目的呢？下面我們就用一些例題來簡要說明.

一、反思問題的特殊性，總結(jié)問題的一般性

在實(shí)際的題目中，不同的題目都有不同的條件，每一道題都是一種特殊情形下的問題.在解題教學(xué)中，講題還要注重從問題的特殊性出發(fā)，通過分析條件和結(jié)論，總結(jié)出一種一般性的方法和結(jié)論.這樣才能學(xué)會(huì)舉一反三，獲得新的發(fā)現(xiàn).

例1 如圖所示，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，兩直線的斜率的乘積為-49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

這是一道教材上的例題，學(xué)生們通過分析和求解，很容易就得到了該點(diǎn)的軌跡方程.教師對學(xué)生們進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生們反思題目中的特殊性，通過探究和概括，得出了橢圓x2a2+y2b2=1的長軸兩端點(diǎn)與其他任意點(diǎn)連線的斜率之積為一個(gè)定值，該定值就是-b2a2，這就是一個(gè)從特殊到一般的過程.但這個(gè)結(jié)論還能再繼續(xù)推廣嗎？還能適用范圍更廣、更一般性的結(jié)論嗎？教師再對學(xué)生們進(jìn)行引導(dǎo)，組織學(xué)生們進(jìn)行探究，把結(jié)論推廣到了橢圓x2a2+y2b2=1上任何關(guān)于橢圓中心對稱的兩點(diǎn)A和B與其他任意點(diǎn)M的連線的斜率之積為定值-b2a2.像這樣，通過例題的特殊性，拓展到知識的一般性.如果在教學(xué)中都能這樣去反思、嘗試和總結(jié)，那么學(xué)生們解決問題的能力將會(huì)有很大的提高.

二、反思題目中的關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地解題

數(shù)學(xué)知識之間是充滿聯(lián)系的，在教學(xué)中，教師應(yīng)該抓住一切的聯(lián)系關(guān)鍵點(diǎn)來進(jìn)行發(fā)散和轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生們通過知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化發(fā)散思維，從一種方法到另一種方法，從一類題型到另一類題型，學(xué)會(huì)反思題目中的一些關(guān)鍵聯(lián)系，才能發(fā)揮出學(xué)生們的創(chuàng)造性，在教學(xué)中應(yīng)學(xué)會(huì)反思，才能找到最巧妙的解題方法，創(chuàng)造性地解決問題.

例2 直線xa+yb=1通過點(diǎn)Mcosα，sinα，則（ ）.

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

在這道題中，很多學(xué)生的解題思路都是先把點(diǎn)M代入到直線方程中，再思考下一步，根據(jù)等式中正、余弦，可以想到用輔助角公式合并化簡求解.這是最常見的一種方法，也是大部分學(xué)生都能想到的.部分學(xué)生也能抓住題中的一些關(guān)鍵，聯(lián)想到單位圓的解題思路，設(shè)點(diǎn)M是單位圓x2+y2=1上的點(diǎn)，再把題目轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系問題.通過教師的指點(diǎn)和引導(dǎo)，讓學(xué)生們從選項(xiàng)的關(guān)鍵之處入手，聯(lián)想到柯西不等式，將正、余弦和參數(shù)a，b分離，同樣也可以得出答案.只有積極地去反思，才能抓住題目中的關(guān)鍵之處，用不同的方法來解決問題.

三、反思題目間的通性，領(lǐng)悟解題的規(guī)律

解題教學(xué)中能講解的題目是非常有限的，學(xué)生們再怎么刻苦，所練習(xí)的題目也是非常有限的，要從根本上提高解題的能力，靠多講多練顯然是行不通的，關(guān)鍵還是要能夠從解題的過程中，反思題目之間的通性，領(lǐng)悟到解題的規(guī)律，形成一種正確的解題意識.有了這種意識，才能讓學(xué)生們面對千變?nèi)f化的題目而不慌亂，找準(zhǔn)了方法就一定能解決問題.

例3 （1）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈0，+∞，那么，求函數(shù)f（x）的最大值.

（2）設(shè)ak，bk（k=1，2，…，n）均為正數(shù)，試證明：

①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，則ab11ab22…abnn≤1.

②若b1+b2+…+bn=1，則1n≤bb11bb22…bbnn≤b21+b22+…+b2n.

下面再看一道例題：

例4 已知m，n為正整數(shù).

（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，（1+x）m≥1+mx；

（2）如果n≥6，且1-1n+3n<12，求證：1-mn+3n<12n，m=1，2，…，n；

（3）求出滿足等式3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）m的所有正整數(shù)n.

在課堂中，我拿出了上面兩道例題，并把班上的同學(xué)分成兩組，兩組同學(xué)分別做一道例題，在完成了本組的這道題后，可以去做另外一道題.等同學(xué)們都差不多做完了再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)完成的情況，發(fā)現(xiàn)了兩組學(xué)生有很明顯的差異.先做例3再做例4的這組學(xué)生完成的情況明顯要比另一組差，這組學(xué)生兩題都做對的很少，而另一組兩題都做對的明顯多一些.學(xué)生們做的都是這樣的兩道題目，僅僅就是因?yàn)樽鲱}的先后順序不同就導(dǎo)致了明顯的差異.原因就在于先做例4的這一組可以先從簡單的做起，由于這兩道題目的方法是相通的，學(xué)生通過做簡單題領(lǐng)悟到其中的方法，再把方法運(yùn)用到相同類型的例3中，實(shí)現(xiàn)了知識和方法的遷移.因此，教學(xué)中更加要注重培養(yǎng)學(xué)生們理解和接受新知識的能力，學(xué)會(huì)把已有的方法運(yùn)用到其他問題中.

總之，解題教學(xué)的過程不僅僅是解決某個(gè)問題，還是增長學(xué)生們的解題能力，拓展學(xué)生的思維能力的重要途徑.在解題中能夠積極反思和總結(jié)，對提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)能力更是有非常大的幫助，教師一定要堅(jiān)持用正確的方法和步驟實(shí)現(xiàn)這個(gè)過程，培養(yǎng)學(xué)生們自覺反思和總結(jié)的好習(xí)慣.