導(dǎo)數(shù)教學(xué)中幾點創(chuàng)新

李志江

【摘要】本文指出了導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的幾個問題以及創(chuàng)新處理的方法.包括：求解瞬時速度的分析； 復(fù)合函數(shù)的分解與求導(dǎo)； 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的兩個易錯點； 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的現(xiàn)實價值.以往對此問題的研究很少，本文通過分析得出了巧妙引入導(dǎo)數(shù)概念的方法、求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵之處和導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的易錯點以及對策.

【關(guān)鍵詞】微積分；瞬時速度；復(fù)合函數(shù)；導(dǎo)數(shù)

微積分教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一，導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)一般被認(rèn)為是比較簡單的，因而無論是講授還是學(xué)習(xí)的時候都容易掉以輕心.對于微積分的學(xué)習(xí)，極限思想是基本思想，導(dǎo)數(shù)概念是基本概念，掌握不好導(dǎo)數(shù)概念及其求解方法就無法學(xué)好導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，而積分和求導(dǎo)數(shù)是逆運算的關(guān)系，不會求導(dǎo)去積分更是天方夜譚.結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗及學(xué)生本身的認(rèn)知特點，本文主要給出導(dǎo)數(shù)教學(xué)中幾個問題以及創(chuàng)新處理的方法.

一、概念引入時的矛盾論

導(dǎo)數(shù)概念的引入，一般教材都要利用牛頓提出的求變速直線運動在某一時刻的瞬時速度這個例子，即已知物體作變速直線運動，其運動方程為s=s（t） （s表示位移，t 表示時間），求物體在 t0 時刻的速度.根據(jù)在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的物理知識知道運動物體的速度等于位移除以時間即v=st，但是利用這個公式所求的速度是物體的平均速度，在目前階段也只能求物體的平均速度.設(shè)該物體在時刻t0的位置是s（t0），在時刻t0 +Δt的位置是s（t0+Δt），則從t0 到 t0 +Δt這段時間內(nèi)，物體的位移是Δs=s（t0+Δt） -s（t0），所以在時間段Δt=（t0+Δt）- t0內(nèi)物體的平均速度為： v=ΔsΔt，然而求出平均速度并沒有求出物體的瞬時速度.在這個地方實際上有個矛盾，一是我們可以看出來如果Δt這個時間增量越小即越接近于0那么平均速度就會越接近時刻t0的瞬時速度，二是平均速度的求解公式中Δt是分母不能等于0.這個矛盾的解決實際上體現(xiàn)了極限思想的優(yōu)越性，即讓Δt無限接近于0同時又不能其等于0的方法，就是讓Δt趨近于0.因此對上述v求出當(dāng)Δt時→0的極限，這個極限的結(jié)果就是運動物體在t0的瞬時速度vt0，而得到這個極限后再進(jìn)一步分析，這個極限實際上是個函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，也就是函數(shù)變化率的問題.對于這個引例的精心分析和細(xì)致講解，一方面可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和進(jìn)一步深化極限思想，另一方面對于學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的定義有非常重要的作用.

二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)這部分知識的學(xué)習(xí)，如何求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是個重點內(nèi)容，對于函數(shù)求導(dǎo)基本方法一般都認(rèn)為有直接積分法（直接利用公式法）、四則運算法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對于一些特殊的函數(shù)還有隱函數(shù)求導(dǎo)法和對數(shù)求導(dǎo)法.函數(shù)求導(dǎo)的易錯點和難點之一就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，例如對函數(shù)y=ln（x+1+x2）求導(dǎo)，這是一個常見的函數(shù)求導(dǎo)問題，其方法就是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解決，但是學(xué)生在具體應(yīng)用時候會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，比如有以下幾種情況：

1.求出y′=1x+1+x2，出錯的原因是沒有進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，只是把y當(dāng)作一個簡單函數(shù)求導(dǎo).

2.求出y′=1x+1+x2（x+1+x2），出錯的原因是在求解過程沒有對1+x2求導(dǎo).

3.求出y′=1x+1+x2（x+1+x2）2x，其錯誤原因是求導(dǎo)過程混亂、思路不清晰.

綜合以上幾種情況下面給出解決問題的建議.

我們認(rèn)為處理這類題目的關(guān)鍵是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即鏈?zhǔn)椒▌t的運用，要掌握其基本方法和基本思路，那就是分解、求導(dǎo)、消去中間變量.當(dāng)然這里面其實求導(dǎo)和消去中間變量難度較小，最容易出錯和不好把握的反而是復(fù)合函數(shù)的分解，對于給了一個復(fù)合函數(shù)如何分解是很多學(xué)生頭疼的問題，甚至很多老師在這個地方也容易說不清楚，很容易出現(xiàn)模棱兩可的現(xiàn)象.其實在這個地方體現(xiàn)了對于復(fù)合函數(shù)分解 “度”的把握問題，將復(fù)合函數(shù)分解成的各個函數(shù)應(yīng)該是基本初等函數(shù)或者是基本初等函數(shù)的和差積商，因此將上述函數(shù)分解為：y=lnu，u=x+v，v=w，w=1+x2，分解好了再去求導(dǎo)就直接利用公式即可，最后再消去中間變量.由此看來，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本方法中關(guān)鍵不是求導(dǎo)了，反而是對于復(fù)合函數(shù)的正確分解.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是求導(dǎo)數(shù)這一類問題中非常容易出錯的點，特別是在初始階段.如果真正地利用上述描述的這個步驟來操作，就能避免出現(xiàn)求導(dǎo)不到位或者求導(dǎo)過多的現(xiàn)象.

三、導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實價值

我曾經(jīng)見到這樣一道題目：一位汽車司機在收費亭處拿到一張罰款單，說他在限速70公里/小時的收費道路上2小時內(nèi)走了148公里，罰款單列出的違章理由是超速行駛，問收費亭做得是否正確并說明理由.估計很多學(xué)生都會對這個問題感興趣，這是大家日常生活中比較常見的一個問題，但是一般還真不好回答這個問題，因為覺得收費亭肯定是正確的，可理由又說不出來.其實如果學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)并進(jìn)一步研究它的應(yīng)用，那么這個問題就很容易回答了.具體來說是這樣的，學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)后一般教材在研究導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時都要學(xué)習(xí)三個中值定理.其中有個Lagrange定，理其物理解釋是：函數(shù)在[a，b]上的平均變化率等于在（a，b）內(nèi)某個點處的瞬時變化率.我們通過對導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道速度就是位移對時間的變化率，瞬時速度就是瞬時變化率，所以對于該題目而言，汽車司機的平均變化率也就是平均速度是74公里/小時，而道路的限速是70公里/小時，所以肯定是超速了.運用導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識去分析和解決類似這個題目的問題，是數(shù)學(xué)知識來源于生活又回到生活的典型范例，此類運用可以讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂生動起來.