數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)下合情推理能力的培養(yǎng)

張興明

【摘要】 合情推理能力是創(chuàng)造性思維能力的重要組成部分，數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分重視合情推理能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度形成推理能力，著重從數(shù)與代數(shù)、平面與空間、統(tǒng)計(jì)與概率方面來培養(yǎng)，從而培養(yǎng)和提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

【關(guān)鍵詞】 類比猜想；合情推理；推理能力

數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展推理能力的作用，人們?cè)缫颜J(rèn)同并深信不疑.但是，長期以來數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“模式化”的教學(xué)發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，而忽視了合情推理，許多科學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)卻往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察、比較、歸納、類比、猜想……即通過合情推理得出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯(cuò)誤.如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理、四色問題等的發(fā)現(xiàn).其他學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過合情推理、提出猜想、假說和假設(shè)，再經(jīng)過演繹推理或?qū)嶒?yàn)得到的.如牛頓通過蘋果落地而產(chǎn)生靈感，經(jīng)過合情推理，提出萬有引力的猜想，后來通過庫侖的扭秤實(shí)驗(yàn)證實(shí).海王星的發(fā)現(xiàn)更是合情推理的典范.

因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，可以通過空間與圖形、數(shù)與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、實(shí)踐與綜合應(yīng)用等教學(xué)活動(dòng)來培養(yǎng).

一、在數(shù)與代數(shù)的領(lǐng)域中著重培養(yǎng)歸納推理能力

歸納推理的一般步驟是：先通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，然后從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題，并且在一般情況下，如果歸納的個(gè)別事物越多，越具有代表性，那么推廣的結(jié)論也就更可靠.

1.從數(shù)的運(yùn)算到代數(shù)運(yùn)算中培養(yǎng)歸納推理能力

“數(shù)與代數(shù)”中，計(jì)算要依據(jù)一定的規(guī)則——公式、法則、運(yùn)算律等，因而計(jì)算中用推理即算理；用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系或變化的規(guī)律進(jìn)行探索、分析、歸納和概括，即從具體的數(shù)開始，發(fā)現(xiàn)隱含在量與量之間的關(guān)系，并將這個(gè)關(guān)系用代數(shù)式、方程、不等式或函數(shù)表達(dá)式表示出來.在這個(gè)過程中，歸納推理顯得格外重要.

例1 （1）計(jì)算并觀察下列每組算式：

①9×9=8×10=②7×7=6×8=③13×13=12×14=

（2）已知25×25=625，那么24×26= .

（3）從上述過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用語言敘述這個(gè)規(guī)律嗎？你能用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律嗎？

（4）你能證明自己得到的規(guī)律嗎？

通過設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)過程，使學(xué)生從對(duì)具體算式的觀察比較中，通過歸納推理提出猜想，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)：a×a=b，則（a-1）×（a+1）=b-1，然后用多項(xiàng)式乘法法則來證明猜想的正確性.

2.從數(shù)列通項(xiàng)公式的求法中培養(yǎng)特殊到一般的歸納推理

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法中我們可以先根據(jù)關(guān)系寫出數(shù)列的前n項(xiàng)，然后通過對(duì)這n項(xiàng)的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)它們的共性，從而大膽猜想出一般歸律，即通項(xiàng)公式，再用完全歸納法加以證明，在這過程中著重體現(xiàn)了特殊到一般的歸納推理.

例2 在數(shù)列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn ，an+1成等差數(shù)列，bn ，an+1，bn+1成等比數(shù)列，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論.

解 由條件得2bn=an+ an+1，a2n+1=bn bn+1

由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25.

通過觀察分析：a1=2=1×（1+1），a2=6=2×（2+1），a3=12=3×（3+1），b1=4=（1+1）2，b2=9=（2+1）2，b3=4=（3+1）2.

所以，由上面歸納可猜測(cè)：an=n×（n+1） bn=（n+1）2.然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)的正確性.

二、在平面與空間的領(lǐng)域中著重培養(yǎng)類比推理能力

類比推理就是先找出兩類事物之間的相似性或一致性，然后用一類事物的性質(zhì)推測(cè)另一類事物的性質(zhì)得出一個(gè)明確的結(jié)論.類比的基礎(chǔ)是觀察，類比的關(guān)鍵是聯(lián)想.由于類比是研究?jī)深愂挛锘騼蓚€(gè)問題的相似性為其推理基礎(chǔ)的，而兩類相似事物間可能存在某些差異性，故由類比聯(lián)想所得的結(jié)論，有時(shí)是正確的，有時(shí)是不正確的.雖然類比的結(jié)論還需證明，但它卻為我們指出了目標(biāo)，提供了線索，建立了聯(lián)系，使思維有了方向，有利于我們徹底解決問題.因此，類比不但具有或然性，更具有創(chuàng)造性，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑.

空間與平面的類比是一種降維或升維類比.即將空間圖形的性質(zhì)、結(jié)論與相應(yīng)的平面圖形的性質(zhì)、結(jié)論進(jìn)行類比，我們可以發(fā)現(xiàn)空間與平面相應(yīng)圖形的許多相似性質(zhì).

平面到空間的類比：平面到空間的類比是一種升維類比，長度類比為面積，面積類比為體積，點(diǎn)類比為線，線類比為面，面類比為空間.

空間到平面的類比：空間與平面的類比是一種降維類比.即將空間圖形的性質(zhì)、結(jié)論與相應(yīng)的平面圖形的性質(zhì)、結(jié)論進(jìn)行類比，我們可以發(fā)現(xiàn)空間與平面相應(yīng)圖形的許多相似性質(zhì).

三、在現(xiàn)實(shí)生活的統(tǒng)計(jì)與概率中著重培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)推理

人們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常需要作出判斷和推理，尤其是在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)工作和分析概率性（可行性）等問題時(shí)，都要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推理，統(tǒng)計(jì)中的推理是合情推理，是一種是否可行性的推理，與其他推理不同的是，由統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無法用演繹推理的方法去檢驗(yàn)，只有靠生活實(shí)踐來加以證實(shí).

例如：為籌備畢業(yè)聯(lián)歡晚會(huì)，準(zhǔn)備什么樣的節(jié)目才能最受歡迎？首先應(yīng)由學(xué)生對(duì)全班同學(xué)喜歡什么樣的節(jié)目進(jìn)行調(diào)查，然后把調(diào)查所得到的結(jié)果整理成數(shù)據(jù)，并進(jìn)行比較，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)作出決策，確定應(yīng)該準(zhǔn)備什么節(jié)目.這個(gè)過程是合情推理，其結(jié)果只能使絕大多數(shù)同學(xué)滿意.

許多游戲活動(dòng)也隱含著推理的要求.所以，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動(dòng)中有“學(xué)習(xí)”，養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的習(xí)慣.