從“來(lái)料加工工廠”學(xué)習(xí)函數(shù)

趙廣樂(lè) 高旭

摘要：函數(shù)概念作為高中數(shù)學(xué)的基本概念和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主線，其抽象性令高中學(xué)生頭痛不已。本文從生活實(shí)例出發(fā)，深入分析函數(shù)的實(shí)質(zhì)，并通過(guò)生活實(shí)例詳述“來(lái)料加工工廠”在函數(shù)問(wèn)題解決中的具體應(yīng)用。以一種生活化的、易于理解的觀點(diǎn)詮釋函數(shù)概念。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；“來(lái)料加工工廠”；定義域；解析式；映射

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0160

現(xiàn)實(shí)生活中，我們見過(guò)各種各樣的來(lái)料加工工廠，大至國(guó)有企業(yè)沈陽(yáng)飛機(jī)制造廠，小至路邊的各色小吃攤、面包店，乃至我們中學(xué)生學(xué)習(xí)和生活的學(xué)校。這些地方的最大共同點(diǎn)是：輸入各自需要的“原料”，通過(guò)某些特定的加工、生產(chǎn)、培養(yǎng)流程，生產(chǎn)出具備特定要求的“產(chǎn)品”。

其實(shí)，函數(shù)就可以視為一個(gè)“來(lái)料加工的工廠”。我們以面包廠為例，生產(chǎn)面包需要一套固定的流程和機(jī)器，比如：將面粉和面→將面團(tuán)發(fā)酵→將發(fā)酵的面團(tuán)加入各種輔料(雞蛋、香腸、椰蓉等)→烘烤→面包出爐。我們將原料面粉視為x，產(chǎn)品面包視為y，則可以編擬出函數(shù)y=■。我們用平方運(yùn)算表示“和面”、用“乘以2”表示“發(fā)酵”、用“加1”表示“加入各種輔料”、用“除以x”表示“烘烤”，這樣面包出爐了，一個(gè)完整的函數(shù)也就建立起來(lái)。當(dāng)然，每種運(yùn)算具體表示什么意義是無(wú)關(guān)緊要的，重要的是通過(guò)這樣的固定加工流程，我們將原料加工x成了產(chǎn)品y。

這樣理解有什么特別的好處呢？請(qǐng)大家不要急，我們先來(lái)看幾個(gè)例子：

題型一：解析式相關(guān)問(wèn)題

1. 已知f(x)，g(x)求f [g(x)]

例1. 已知f(x)=■，g(x)=■，則f [g(x)]=

這樣的題目該怎么解呢？回顧上述關(guān)于函數(shù)(來(lái)料加工工廠)的理解

現(xiàn)實(shí)中，會(huì)有這樣的例子嗎？當(dāng)然有，還以面包廠為例，進(jìn)了一批貨(面粉)，發(fā)現(xiàn)是次品，顆粒較大，這個(gè)時(shí)候，如果硬往機(jī)器里塞，很可能導(dǎo)致機(jī)器損壞，此時(shí)，如果你是老板，你會(huì)怎么做呢？難道扔掉？我想，老板會(huì)再找一家面粉加工場(chǎng)，把這些次品再加工一下。(圖示如下)

注意到，面包廠f(x)=■的加工流程不會(huì)變，即f [g(x)]=■=■=■，即本題的正確答案為f [g(x)]=■(x≠0)。(不要忘記定義域哦)

2. 已知f [g(x)]，求f(x)

例2. f(x+1)=x2-3x+2，則f(x)=

請(qǐng)同學(xué)們特別注意：雖然加工的原料形式(樣子)變了，但工廠是同一個(gè)工廠、機(jī)器是同一個(gè)機(jī)器f，即f對(duì)原料的加工過(guò)程(法則)是不變的。f對(duì)原料x+1怎樣加工，f對(duì)原料x就怎樣加工。我們求f(x)的解析式，其實(shí)質(zhì)就是問(wèn)工廠(機(jī)器)f對(duì)原料x怎樣加工？其實(shí)，我們只要知道工廠(機(jī)器)f對(duì)原料x+1怎樣加工即可。那么，怎樣才能知道工廠(機(jī)器)f對(duì)原料x+1怎樣加工呢？我們有兩種辦法可供選擇：換元法和配湊法。

解法一(換元法)：令t=x+1，欲知工廠(機(jī)器)f對(duì)原料x+1怎樣加工，只需知曉工廠(機(jī)器)f對(duì)原料t怎樣加工，既然要看對(duì)怎樣加工，那么我們就不再需要了x，即得x=t-1，將其代入已知式中，得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6，f對(duì)t這樣加工，那么，f對(duì)x應(yīng)該同樣加工，即得f(x)=x2-5x+6。

解法二(配湊法)：配湊法的基本思路是，欲知工廠(機(jī)器)f對(duì)原料x+1怎樣加工，那么只需將f(x+1)=x2-3x+2中的全部配成原料x+1即可。可是，怎樣配呢？這里需要一些技巧，我們可以倒著想，右邊有x2項(xiàng)，即可知曉若以x+1為原料加工，必有(x+1)2，而(x+1)2=x2+2x+1與原式不等，欲等，需要減去5x，再加1，即得f(x+1)=(x+1)2-5x+1；而欲將此式中x的轉(zhuǎn)化為原料x+1，就要出現(xiàn)5(x+1)，此時(shí)多減了5，與原式不等，需要再加上5，即得f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+1+5=(x+1)2-5(x+1)+6，至此，已知工廠(機(jī)器)f對(duì)原料x+1加工方式為：原料的平方減去五倍的原料再加6，則f(x)=x2-5x+6。

分析上述解法，解法一很明顯更為簡(jiǎn)便，原因在于：解法一在換元之后的主要任務(wù)是化簡(jiǎn)，而解法二的配湊卻不那么好想。但請(qǐng)同學(xué)們注意，解法一并不是萬(wàn)能的，在解法一的解決過(guò)程中，除了換元外，還需要用表達(dá)(此步驟通常稱為反解)，將所有的均換為的表達(dá)式，如果用不易或不能表達(dá)出，那么換元法是無(wú)效的，必須使用配湊法來(lái)解決此類問(wèn)題了。

題型二：定義域相關(guān)問(wèn)題

1. 已知f(x)的定義域，求f [g(x)]的定義域

例3. 已知f(x)的定義域?yàn)閇2，+∞)，則f(x2-7)的定義域?yàn)?/p>

注意：定義域指的是字母x的取值范圍。即[2，+∞)指的是f(x)中x的取值范圍，而問(wèn)題問(wèn)f(x2-7)的定義域，問(wèn)的是f(x2-7)中x的范圍。解決此類問(wèn)題，要注意：函數(shù)是來(lái)料加工的工廠，那么，我們也可以將f(x)視為工廠中的加工機(jī)器，其中的括號(hào)()可以視為機(jī)器的原料入口。請(qǐng)同學(xué)們想一想：對(duì)于一臺(tái)特定的機(jī)器而言，其原料入口的大小是否確定？是否會(huì)一會(huì)兒大，一會(huì)兒小？事實(shí)上，一臺(tái)特定機(jī)器的原料入口的大小是固定不變的，這就好像我們?nèi)祟愐粯?，嘴巴作為身體這臺(tái)有機(jī)機(jī)器的原料入口，嘴巴的范圍是有限的，張得再大也不能整吞一個(gè)茄子。這一事實(shí)則為我們解決這類題型提供了依據(jù)。

f(x)的定義域?yàn)閇2，+∞)，即f(x)中x的取值范圍為[2，+∞)，而x能夠放入機(jī)器中，說(shuō)明的x范圍應(yīng)該正好滿足加工機(jī)器f(x)的入口()的范圍，即知加工機(jī)器f(x)的入口()的范圍為[2，+∞)；x2-7能夠放入機(jī)器f(x)中，說(shuō)明，x2-7滿足加工機(jī)器f(x)的入口()的范圍[2，+∞)，即x2-7∈[2，+∞)x2-7≥2x2≥9 x∈(-∞，-3]∪[3，+∞)。

2. 已知f(x)的定義域，求f [g(x)]的定義域

例4. 已知f(x2-2x-3)的定義域?yàn)閇2，+∞)，則f(x)的定義域?yàn)?/p>

解析：欲求f(x)的定義域，即f(x)求中x的取值范圍，需要先求出f(x)加工機(jī)器的入口()的范圍；欲求加工機(jī)器f(x)的入口()的范圍，需要先求出f(x2-2x-3)中x2-2x-3的范圍，由已知的f(x2-2x-3)定義域?yàn)閇2，+∞)，即x2-2x-3中的x∈[2，+∞)，而二次函數(shù)g(x)=x2-2x-3開口向上，對(duì)稱軸為x=1，可知g(x)在[2，+∞)遞增，即g(x)=x2-2x-3∈[g(2)，+∞)=[-3，+∞)也即加工機(jī)器f(x)的入口()的范圍為[-3，+∞)，即f(x)的定義域?yàn)閇-3，+∞)。

例5. f(x+■)=x2+■，則f(x-1)=

解析：由題型一可知，欲求f(x-1)，需先求f(x)，即需先求f(x+■)。

由配湊法，可知f(x+■)=(x2+■+2)-2=(x+■)2-2，令t=x+■

f(t)=t2-2 f(x)=x2-2 f(x-1)= x2-2x-1。

事實(shí)上，上述解法并不完善。

請(qǐng)注意函數(shù)(亦有老師將之稱為對(duì)勾函數(shù))圖象(極為重要)：

由圖象可知，t=x+■∈(-∞，-2]∪[2，+∞) f(x)=x2-2(x∈(-∞，-2]∪[2，+∞))，即 f(x-1)=x2-2x-1(x∈(-∞，-1]∪[3，+∞))。(注：換元法應(yīng)特別留意新元的范圍)

事實(shí)上，函數(shù)(來(lái)料加工工廠)問(wèn)題首先就應(yīng)該看函數(shù)的定義域。函數(shù)問(wèn)題，先看定義域，能使我們不會(huì)的問(wèn)題迎刃而解，能使我們會(huì)的問(wèn)題確保正確，所以，請(qǐng)千萬(wàn)不要忽視定義域。

題型三：分段函數(shù)相關(guān)問(wèn)題

函數(shù)可以視為一個(gè)“來(lái)料加工的工廠”，而分段函數(shù)則可以視為一個(gè)大型的綜合性加工工廠。以分段函數(shù)f(x)x3x≥1x2-1＜x＜1-xx≤-1為例，將其視為首都鋼鐵公司這樣的大型企業(yè)，若 x≥1表示原料鐵礦石的含鐵量較高，此時(shí)，該鐵礦石適宜用來(lái)產(chǎn)鋼，其具體加工過(guò)程為x3；若-1＜x＜1表示原料鐵礦石含鐵量適中，適宜產(chǎn)鐵，則產(chǎn)鐵的具體加工過(guò)程為x2 ；若x≤-1表示原料鐵礦石含鐵量極低，此時(shí)該原料不適宜用于生產(chǎn)，需要廢棄，則其過(guò)程可表示為-x。各段函數(shù)是“分工不分家”，它們是同一函數(shù)。這樣理解，對(duì)于以下的習(xí)題，我們即可迎刃而解。

例6. 已知f(x)=2ex-1x＜2log3(x2-1) x≥2，則f [ f(2)]=

解：先分析內(nèi)部的f(2)，因2≥2，則該原料應(yīng)采取加工方式log3(x2-1)，f(2)=log3(22-1)=1，即f [ f(2)]=f(1)，而1＜2，對(duì)該原料應(yīng)采取加工方式2ex-1，即得知f(1)=2e1-1=2，綜上所述，f [ f(2)]=f(1)=2。

例7. 已知f(x)=log2(x+1)x≥02x-1x＜0，f(x0)＞2則x0的取值范圍是

解析：x≥0時(shí)，f(x)=log2(x+1)單調(diào)遞增，f(x)∈[0，+∞)；x＜0時(shí)，f(x)=2x-1單調(diào)遞增，f(x)∈(-1，0)，f(x0)＞2知f(x0)=log2(x0+1)＞2=log24x0+1＞4x0∈(3，+∞)

函數(shù)的本質(zhì)是映射，它反映了事物之間的相關(guān)性與因果關(guān)系

概念：集合A到集合B的對(duì)應(yīng)一對(duì)多多對(duì)多多對(duì)一一對(duì)一

例8. y=f(x)與x=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()

A. 1個(gè)B. 0個(gè)

C. 0個(gè)或1個(gè)D. 無(wú)法確定

解析：由函數(shù)是一對(duì)一或多對(duì)一的映射，可知，一個(gè)自變量最多對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值，即 y=f(x)與x=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)至多只能有一個(gè)，又由于定義域的限制，y=f(x)的定義域中可能包含a，亦可能不包含a，故正確選項(xiàng)為C。

例9. 在數(shù)軸上，區(qū)間(0，1)上的點(diǎn)和區(qū)間(1，+∞)上的點(diǎn)，哪個(gè)多？

解析：由函數(shù) y=f(x)=■(x∈(0，1))，即建立了從(0，1)到(1，+∞)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即兩個(gè)區(qū)間上的點(diǎn)一樣多。