初中數(shù)學(xué)解題方法之旋轉(zhuǎn)

盛元

【摘要】 初中圖形變換包含平移、翻折和旋轉(zhuǎn)，我們要通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，在圖形的運(yùn)動(dòng)中找到不變量，然后解決問題.

【關(guān)鍵詞】 解題方法；幾何變換；旋轉(zhuǎn)

在幾何解題中，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但改變其位置，使其轉(zhuǎn)化成新的有利于我們論證的幾何圖形.

一、三角形角度問題（ 旋轉(zhuǎn)構(gòu)成直角三角形 ）

例1 如圖1，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA = 3，OB = 4，OC = 5，試證明以下結(jié)論：∠AOB = 150°.

分析 這里待證結(jié)論與題目的已知條件看似風(fēng)馬牛不相及，但是已知條件特征明確，有等邊三角形，即可以產(chǎn)生60°的角，而OA = 3，OB = 4，OC = 5的線段雖沒法直接運(yùn)用，但是很容易使人聯(lián)想到勾股數(shù)，因此如果能將其放到某一個(gè)三角形中，便可以應(yīng)用勾股定理逆定理得到90°的直角，再看結(jié)論，恰好是要證明的150°角，正好是60°與90°之和，如果突破這里，問題便迎刃而解了.

解 將線段BO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BD的位置（如圖2）（或?qū)ⅰ鰾CO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAD的位置，使得BC與BA重合），則∠OBD = ∠CBA = 60°，且AD = OC = 5，從而得△BOD為邊長是3的等邊三角形，OD = 4且∠BOD = 60°. 而在△AOD中，由勾股定理逆定理得△AOD為直角三角形，且∠AOD = 90°，從而∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = 150°. 小結(jié) 這是一個(gè)關(guān)于旋轉(zhuǎn)的典型題目，較好地體現(xiàn)了圖形在旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)過程中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不變的性質(zhì)，結(jié)合圖形的幾何特征，融合勾股定理逆定理、等邊三角形等性質(zhì)，對(duì)提升學(xué)生幾何思維，經(jīng)由發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題的過程，較好地鍛煉和提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 二、面積問題（旋轉(zhuǎn)面積之和）

分析 △AOB中只知道OA，OB兩條邊，求它的面積就需要求出其中某個(gè)邊上的高，由例1我們知道∠AOB = 150°，延長AO，過點(diǎn)B作BE⊥AO延長線于點(diǎn)E，則Rt△BOE中，OB = 4，∠BOE = 30°，由三角函數(shù)可以求得BE的長，從而△AOB的面積可求.用同樣的方法能否求得△AOC的面積呢？請(qǐng)讀者一試. 下面我們利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的圖形來求.

小結(jié) 這里所求的是一個(gè)凹四邊形的面積，可將其分割開來求，由前面方法的鋪墊，△AOB的面積易求，但是△AOC的面積就顯得不是很容易求得，通過旋轉(zhuǎn)后，將待求的四邊形轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何圖形，化繁為易，值得推敲.

三、證明線段的和差關(guān)系（截長或補(bǔ)短問題）

例3 探究問題：

（1）方法感悟：

如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF = 45°，連接EF，求證：DE + BF = EF.

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB = AD，BG = DE，∠1 = ∠2，∠ABG = ∠D = 90°，

∴ ∠ABG + ∠ABF = 90° + 90° = 180°，

因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上.

∵ ∠EAF = 45°，

∴ ∠2 + ∠3 = ∠BAD - ∠EAF = 90° - 45° = 45°.

∵ ∠1 = ∠2，∴ ∠1 + ∠3 = 45°.

即∠GAF = _________.

又AG = AE，AF = AF，∴ △GAF≌_______.

∴_________ = EF，故DE + BF = EF.

（2）方法遷移：

（答案：DE + BF = EF.）

（3）問題拓展：

小結(jié) 線段和差的轉(zhuǎn)化是依據(jù)圖形的特征，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的方法達(dá)到目的，該類型的題目需要利用旋轉(zhuǎn)解決，特別注意旋轉(zhuǎn)以后必須要證共線，想想為什么. 由于題目具有很強(qiáng)的幾何特征，比如有相等的邊、互補(bǔ)的角等，同時(shí)依據(jù)旋轉(zhuǎn)后圖形的固有性質(zhì)不變，牢牢把握這類性質(zhì)是解決此類題目的關(guān)鍵.

四、正方形中的周長定值問題

例4 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形AOB的頂點(diǎn)在第一象限，底邊OB在x軸的正半軸上，且OA = AB = 10厘米，OB = 12厘米，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，沿AO邊向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合），運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/ 秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. 過點(diǎn)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，以CD為邊，在點(diǎn)A的下方作正方形CDEF（如圖8）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，EF在OB上？

（2）當(dāng)邊EF在OB邊上時(shí)（如圖9），連接正方形CDEF的對(duì)角線CE，將∠DCE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0° <旋轉(zhuǎn)角 < 45°），旋轉(zhuǎn)后，角的兩邊分別交邊DE于點(diǎn)G，交邊EF于點(diǎn)H，試判斷在這一過程中，△EHG的周長是否發(fā)生變化？若沒變化，求出其周長；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.

分析 （1）動(dòng)點(diǎn)問題，考察的是圖形運(yùn)動(dòng)的特殊位置，利用相似三角形或直角三角形中的三角函數(shù)直接求解；

（2）利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將圖形旋轉(zhuǎn)，把三角形三邊放到易求的某些特殊線上，可求解.

解 （1）t = 4.

（2）當(dāng)t = 4時(shí)，EF在OB邊上，此時(shí)正方形CDEF的面積為4.8，如圖10所示，將△CDG旋轉(zhuǎn)至△CFM的位置，使得邊CD與CF重合，則△CDG≌△CFM，此時(shí)可得DG = FM，且點(diǎn)M，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，如圖10所示，同時(shí)可證得△CMH≌△CGH（截長補(bǔ)短思想），則△GHE的周長為GH + HE + EG，轉(zhuǎn)化為MH + HE + EG，其和等于FH + DG + HE + EG，即2EF =9.6.

小結(jié) 在動(dòng)態(tài)過程中，結(jié)合圖形的位置是不斷發(fā)生變化的，但是作為圖形的一種整體運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)上保持了圖形本身的內(nèi)在屬性，邊相等，或角相等，或邊角都相等，或邊角同時(shí)都以某種規(guī)律增大或減小，而其相對(duì)性質(zhì)保持穩(wěn)定，這時(shí)候我們便可以借助這些屬性加以求解. 此題巧妙地借助旋轉(zhuǎn)，利用轉(zhuǎn)化思想及截長補(bǔ)短的方法，證明了圖形在動(dòng)態(tài)過程中的某些屬性的不變性.

五、存在性問題

分析 △EFG作為一個(gè)整體元素進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中EG所在直線與射線AD、射線FB有交點(diǎn)，這里首先需要弄清楚在旋轉(zhuǎn)的初始位置時(shí)，點(diǎn)G和點(diǎn)E在哪，與要求的射線AD、射線FB又有怎樣的位置關(guān)系.這里通過計(jì)算可以得到剛開始旋轉(zhuǎn)時(shí)，AF = 3，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，而點(diǎn)G恰好在射線AD上. 當(dāng)△EFG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)G就會(huì)到射線AD左上方，同時(shí)點(diǎn)E會(huì)到∠MON內(nèi)部；當(dāng)△EFG繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)G會(huì)到∠MON內(nèi)部，同時(shí)點(diǎn)E到射線FB下方，隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，點(diǎn)G，F(xiàn)都有可能轉(zhuǎn)到射線FB下方.

解 要使△AMN為等腰三角形，則分別滿足以下情況：

（2）AN = MN時(shí)，如圖13，∠A = ∠AMN = 30°，則∠MNB = ∠FNE = 60°，而△EFG是邊長為3的等邊三角形，所以∠FEN = 60°，且FE = 3，從而可得△FEN是邊長為3的等邊三角形，即點(diǎn)G與點(diǎn)N重合，F(xiàn)N = 3，AN = AF + FN = 3 + 3 = 6.

（3）AM = AN時(shí)，① 如果位置如圖14所示，則∠ANM = ∠AMN = 75°，△EFG是等邊三角形，則∠FEG = 60°，∠FEN = 120°，此時(shí)在△NEF中，∠FNE + ∠FEN = 75° + 120° > 180°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾.

③ 如果位置如圖16所示，∠ANM = ∠AMN = 75°，△EFG是等邊三角形，則∠FGE = 60°，可得∠FGN = 120°，由于∠FNM < ∠FGN，與三角形外角定理矛盾，故此種情況不存在.

小結(jié) 旋轉(zhuǎn)涉及的存在性問題在以后的考試中題目難度會(huì)增大，但同時(shí)如果讀者能夠認(rèn)真地分析旋轉(zhuǎn)圖形的內(nèi)在聯(lián)系，大膽地探索圖形之間的因果聯(lián)系，掌握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)于分析解決運(yùn)動(dòng)類型的存在性問題，有著不可小覷的作用.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，幾何的學(xué)習(xí)能夠提高我們的思維學(xué)習(xí)能力.在幾何解題中，常涉及的幾何變換有對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)作最為復(fù)雜的一種，不僅僅是從運(yùn)動(dòng)的角度揭示幾何圖形的變化規(guī)律，而且它的某些特性也是在這種運(yùn)動(dòng)過程當(dāng)中才能體現(xiàn)的，因此我們不僅要知其然，更要知其所以然，在不斷地錘煉中讓數(shù)學(xué)思維得以更高的提升.