例談多元表征在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

鄭學(xué)軍

【摘要】 多元表征是符號表征、語言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等外在表征形式的綜合，多元表征訓(xùn)練在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的意義. 多元表征有利于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的科學(xué)認(rèn)識，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，增強學(xué)生全面審視問題的能力，并且?guī)椭鷮W(xué)生形成最優(yōu)化的解題策略.

【關(guān)鍵詞】 多元表征；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；意義

“表征”有代表、表示和象征等意思. 表征在心理學(xué)里是指用某種形式，把事物的特性重新表示出來，它可以是具體的形象或圖形，也可以是抽象的語義或者命題. 通常，表征還指提取和理解問題信息的過程.

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：表征在學(xué)習(xí)知識和理解知識結(jié)構(gòu)的過程中扮演了重要的角色；同時表征也是解決問題和尋求解決方法時所必須經(jīng)歷的過程，問題的有效解決常常依賴于對問題的合理表征，不同的表征可能產(chǎn)生不同的解決方法. 一般來說，表征可分為內(nèi)在表征和外在表征. 內(nèi)在表征是指存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理表征. 外在表征指以語言、文字、圖形、符號、具體物、活動或?qū)嶋H情境等形式存在的表征.

多元表征就是指外在表征的多種形式. 一個事物通常具有多重屬性特征，它們是客觀存在的，卻不一定被學(xué)習(xí)者所全部認(rèn)識. 數(shù)學(xué)知識也是以多元的形態(tài)存在，并通過不同的表征形式，展現(xiàn)它的屬性特征. 有學(xué)者（Dreyfus和Eisenberg）指出：任何表征將能夠表達(dá)部分但不是全部的信息，凸顯其中的一些方面而隱藏了另一些. 所以說，單一的表征形式不利于學(xué)生對知識的全面理解. 而多元表征，有利于從各個側(cè)面反映事物并綜合起來展現(xiàn)整體概貌.

近年來，多元表征在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面的促進(jìn)作用成為教育界的研究熱點. 本文結(jié)合認(rèn)知心理學(xué)理論和課堂教學(xué)實際，通過數(shù)學(xué)實例闡明多元表征在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義.

1. 有利于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的科學(xué)認(rèn)識

百度詞條對“數(shù)學(xué)”是這樣解釋的：數(shù)學(xué)源自于人類早期的生產(chǎn)活動，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科. 自從笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)就聯(lián)系到了一起，從此我們可以用計算證明幾何定理，同時也可以用圖形來表示抽象的代數(shù)方程.

由此我們知道，數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它具有實用性、整體性和延續(xù)性. 然而在教學(xué)實踐當(dāng)中發(fā)現(xiàn)，常常有學(xué)生疑惑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，認(rèn)為數(shù)學(xué)過于抽象而脫離生活，對數(shù)學(xué)知識無法建立前后聯(lián)系，從而在學(xué)習(xí)過程中感到枯燥無味，并因此影響了學(xué)習(xí)的效果.

多元表征學(xué)習(xí)，使學(xué)生以更豐富的視角去看待數(shù)學(xué)知識，其本身就是一個更加科學(xué)的學(xué)習(xí)方式. 它不僅使學(xué)生更加全面地理解知識，而且有利于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識. 例1 完全平方公式（a + b）2 = a2 + 2ab + b2的多元表征教學(xué)

（1）符號表征：利用多項式乘以多項式法則計算.

（a + b）2 = （a + b）（a + b）

= a（a + b） + b（a + b）

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2.

（2）語言表征：概括公式特征——頭平方，尾平方，頭尾相乘的兩倍不要忘.

（3）操作表征：學(xué)生分別取幾組數(shù)值，計算（a + b）2和a2 + 2ab + b2的值，通過比較發(fā)現(xiàn)兩式的關(guān)系.

（4）情境表征：商場新開張，免費派發(fā)糖果給前來的小朋友，并且規(guī)定：每次有多少個小朋友一起來就會給每個小朋友同樣數(shù)目的糖果（如6個小朋友一起來，則每個小朋友得到6個糖果）. 現(xiàn)有a個男孩和b個女孩準(zhǔn)備去該商場，他們在思考怎樣可以得到更多的糖果——男孩女孩一起去，還是男孩女孩分兩批過去？引導(dǎo)學(xué)生探索兩種情況的數(shù)量關(guān)系.

（5）圖形表征：利用圖形，研究大正方形面積和里面四個矩形的面積，引導(dǎo)學(xué)生探索（a + b）2和a2 + 2ab + b2關(guān)系.

如下表所示，我們看到，完全平方公式的多元表征教學(xué)在各個表征層面都發(fā)揮了一定的作用. 因此，多元表征教學(xué)有利于學(xué)生科學(xué)地、全面地看待數(shù)學(xué)學(xué)科，使學(xué)生對數(shù)學(xué)形成濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.

2. 有利于學(xué)生構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)

學(xué)生在表征系統(tǒng)內(nèi)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)譯，是深刻影響學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)的重要因素. 在教學(xué)中經(jīng)常進(jìn)行多元表征訓(xùn)練，就是為了強化學(xué)生在表征系統(tǒng)內(nèi)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換. 多元表征由于能夠很好展現(xiàn)一個數(shù)學(xué)知識的多個側(cè)面，所以它必然能夠成為非常有利于聯(lián)系前后知識的橋梁. 在教學(xué)中使用多元表征，可以使學(xué)生比較容易理解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的緣由，更容易將新學(xué)知識納入已有的知識結(jié)構(gòu)中，形成穩(wěn)固的知識體系.

例2 無理數(shù)的多元表征教學(xué)

（1）語言表征：無限不循環(huán)小數(shù)；或者，不能寫成兩個整數(shù)之比的數(shù).

（2）符號表征：列舉無理數(shù)的代表及符號——圓周率π；2的算術(shù)平方根，5的立方根；其他無限不循環(huán)小數(shù)，如-1.01001000100001…，等等.

（3）操作表征：用逼近法計算的值.

∵ 12 = 1，22 = 4，∴1 < < 2.

∵ 1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，∴ 1.4 < < 1.5.

∵ 1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，∴ 1.41 < < 1.42.

∵ 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，

∴ 1.414 < < 1.415.

……

（4）情境表征：發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的歷史故事.

（5）圖形表征：在直角三角形中利用勾股定理構(gòu)造長度是無理數(shù)的線段.

在進(jìn)行“無理數(shù)”的教學(xué)時，教師通常較多采用語言表征和符號表征，而忽略了其他表征形式的講解，因此無理數(shù)的概念顯得抽象費解，學(xué)生無法掌握無理數(shù)概念的本質(zhì)特征.

事實上，“用逼近法計算的值”的操作表征能夠讓學(xué)生親身體驗“無限不循環(huán)”的含義，對值的大小將有更深切的體會. 同時，通過操作表征，學(xué)生探尋“未知”的欲望得到滿足，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣得到激發(fā).

通過講述“發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的歷史故事”，學(xué)生了解到無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了曲折的過程，學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)今數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)乃是建立在眾多數(shù)學(xué)家們不懈努力的基礎(chǔ)上，從而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感價值觀得到更大的提升. 同時，學(xué)生在“數(shù)”的學(xué)習(xí)上明確了擴(kuò)充的線索：自然數(shù)——整數(shù)——有理數(shù)——實數(shù)，在數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上形成了科學(xué)牢固的建構(gòu).

在直角三角形中利用勾股定理來構(gòu)造長度是無理數(shù)的線段，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活，而無理數(shù)是實實在在地存在于生活周圍的“數(shù)”；同時，圖形表征很好地溝通了代數(shù)和幾何的內(nèi)容，使學(xué)生認(rèn)識到代數(shù)與幾何的統(tǒng)一性；另外，由于無理數(shù)和勾股定理這兩個知識有了交叉節(jié)點，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)將更加牢固.

3. 增強學(xué)生全面審視問題的能力

學(xué)生在學(xué)習(xí)或者解題的過程中，通過問題表征來獲取信息. 一種表征形式通常只能讓學(xué)生獲得與問題相關(guān)的部分信息，不利于學(xué)生全面地認(rèn)識問題，甚至誤導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)或者阻礙學(xué)生解決問題. 相反，如果經(jīng)過長期的多元表征訓(xùn)練，學(xué)生將會形成全面看待數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，并且善于在各種表征之間靈活轉(zhuǎn)換，從而避免了因表征的缺漏而誤判題意.

例3 函數(shù)y1 = -x2 + 3x - 4，函數(shù)y2 = x - 12，求y1 < y2時x的取值范圍.

在教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)，如果學(xué)生偏好于代數(shù)符號表征，那么學(xué)生往往希望通過不等式去解出x的范圍（錯解如下所示），由于初中還沒有學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法，結(jié)果費了不少時間卻沒有得出正確結(jié)果.

錯解：y1 < y2需有

-x2 + 3x - 4 < x - 12

x2 - 2x > 8

（x - 1）2 > 9

x > 4.

熟悉函數(shù)的多元表征的同學(xué)，能夠迅速把求解問題在符號表征和圖形表征之間轉(zhuǎn)換，因此對問題有了更全面的認(rèn)識：在圖像上看，y1 < y2也就是y1處于y2的下方，因此采用計算和圖像相結(jié)合的辦法解決上述問題（如下所示）.

正解：畫出函數(shù)草圖，觀察到y(tǒng)1 < y2的區(qū)域分別位于兩函數(shù)交點的外側(cè)，因此求出交點坐標(biāo)后，可看圖得出結(jié)論.

y = -x2 + 3x - 4，

y = x - 12.

解得：x = -2，

y = -6，x = 4，

y = 0.

因此：x < -2或x > 4.

例4 已知Rt△ABC， ∠BAC = 90°，AC = AB，D在AC上，E在BA的延長線上，BD = CE， BD的延長線交CE于F，求證：△EBF是直角三角形.

又如例4，教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過多元表征訓(xùn)練的學(xué)生因為對“直角三角形”的理解更為全面，能較快地實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，把 “求證△EBF是直角三角形”表征為“求證∠E + ∠EBF = 90°”，從而更容易想到證明思路.

4. 幫助學(xué)生形成最優(yōu)化的解題策略

多元表征教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生對問題全方位的觀察分析能力，使學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中練就了概括、比較、類比等數(shù)學(xué)思想，元認(rèn)知監(jiān)控的能力也相應(yīng)得到提高，因此學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時，能夠選擇最優(yōu)化的策略去解決問題.

例5 計算： + + + + … + .

學(xué)生嘗試計算之后發(fā)現(xiàn)了困難，然后開始尋求其他解題方法. 有的學(xué)生聯(lián)想到一根木棒，每次砍掉一半，不斷砍下去……砍了n次，接著這名學(xué)生就想到了答案. 也有的學(xué)生嘗試用圖形來表征題目，如下圖所示，然后也很快就找到了答案. 這些學(xué)生的解題策略得益于平時的多元表征訓(xùn)練，因此在解題困難時能及時地運用情境表征或圖形表征，把問題轉(zhuǎn)化為對具體的事物求解，所以能輕松地找到答案.

例6 計算： + + + … + = .

又如例6，學(xué)生如果單純依靠計算的技能是很難解決這道計算題的，但如果學(xué)生平時經(jīng)常接受多元表征訓(xùn)練，對“”這個數(shù)字的思考是比較豐富的，能夠采取特別的策略去解題：畫出△ABC，設(shè)其面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，A2C、B2C的中點A3、B3，依次取下去……利用這一圖形，就可以直觀地寫出結(jié)果.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]百度：http：//baike.baidu.com/subview/1284/13645654.htm？fr=aladdin.

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