用方程思想解決幾何問(wèn)題

郭愛(ài)青

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：獲得必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

“方程思想在解決幾何問(wèn)題中的應(yīng)用”是通過(guò)方程把幾何與代數(shù)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái). 在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過(guò)設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問(wèn)題的思想稱(chēng)為方程思想. 方程思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中無(wú)處不在，是探索數(shù)及實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的關(guān)系與規(guī)律的有效工具，是發(fā)展學(xué)生符號(hào)感的重要手段，所以方程思想的地位極其重要. 用設(shè)未知數(shù)，用未知量表示已知量的方法，通過(guò)分析題中的等量關(guān)系，利用所學(xué)定理、性質(zhì)等尋找出等量關(guān)系，從而有效地解決幾何內(nèi)容與解方程的關(guān)系. 用方程思想解決實(shí)際應(yīng)用題對(duì)于學(xué)生并不陌生，但它一旦與幾何問(wèn)題相結(jié)合產(chǎn)生的效應(yīng)往往讓學(xué)生眼前一亮.

一、加強(qiáng)題組訓(xùn)練，讓學(xué)生體驗(yàn)方程思想在解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

1. Rt△ABC中，∠C = Rt∠，AC = 6，BC = 8，則斜邊AB上的高線CD的長(zhǎng)是 .

解 設(shè)CD的長(zhǎng)為x，由勾股定理，AC = 10.

方法1 利用面積法構(gòu)造方程： × 6 × 8 = × 10·x，x = 4.8； = ，x = 4.8.

方法2 利用相似構(gòu)造方程：易證△CDA∽△BCA.

2. 如圖，△ABC中，D，E是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，若DE = 2，BC = 3，BD = 1，則AD的長(zhǎng)是 .

解 利用相似構(gòu)造方程：設(shè)AD的長(zhǎng)為x，易證△ADE∽△ABC，∴ = ，x = 2.

3. 如圖，☉O的弦AB⊥半徑OE于D，若AB = 12，DE = 2，則☉O的半徑是 .

解 設(shè)☉O的半徑長(zhǎng)為r，連接OA. 由垂徑定理得AD = BD = 6，再利用勾股定理構(gòu)造方程：62 + （r - 2）2 = r2，r = 10.

通過(guò)題組訓(xùn)練，可以讓學(xué)生得到利用方程思想解決幾何問(wèn)題的基本思路：（1）審清題意，對(duì)題意中涉及的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系進(jìn)行標(biāo)量；（2）設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，再標(biāo)量；（3）根據(jù)面積法、相似法、勾股定理法、三角函數(shù)法等找出符合題意的等量關(guān)系，列方程或者方程組；（4）解方程（組）并檢驗(yàn)，找到符合題意的答案.

二、適度的典型綜合題型的訓(xùn)練及變式訓(xùn)練，可以提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力

（一）方程思想在解決有關(guān)折疊問(wèn)題中的妙用

如圖，已知：矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，沿EC折疊，使點(diǎn)B落在AD邊的B′處，若AB = 6，BC = 10，求AE的長(zhǎng).

解 ∵ AD = BC = B′C = 10，AB = CD = 6，∠D = 90°，∴ B′D = 8，∴ AB′ = 2. 設(shè)AE = x，則BE = B′E = 6 - x.

方法1利用勾股定理法構(gòu)造方程：

4 + x2 = （6 - x）2 ，x = .

方法2 利用相似法構(gòu)造方程：

∵∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠EB′C = 90°，∴ ∠AEB′ + ∠AB′E = 90°，∠DB′C + ∠AB′E = 90°， ∴∠AEB′ = ∠DB′C，∴△AEB′∽△DB′C. ∴ = ，∴ x = .

方法3 利用面積法構(gòu)造方程：

∵ S1 + S2 + S3 + S4 = S矩形ABCD ，S3 = S4，

∴ x + 24 + 10（6 - x） = 60，∴ x = .

方法4 利用三角函數(shù)法構(gòu)造方程：

由方法2中的∠AEB′ =∠DB′C得到它們兩個(gè)角在直角三角形中的正切值相等，構(gòu)造方程 = ，∴ x = .

變式訓(xùn)練：如圖，已知矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，沿EC折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，若AB = 6，BC = 8，求AE的長(zhǎng).

同樣地利用上述四個(gè)方法可以構(gòu)造方程解決這一變式. 聰明的讀者不妨試試看，利用方程思想解決此類(lèi)折疊問(wèn)題有“山重水復(fù)疑無(wú)路 ，柳暗花明又一村”的感覺(jué).

（二）方程思想在解決符合條件的點(diǎn)是否存在，或點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方面的應(yīng)用

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，AB = 1，CD = 6.若AD = 5，在線段AD上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P，C，D為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？它們到點(diǎn)A的距離是多少？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 解決此類(lèi)相關(guān)問(wèn)題，先假設(shè)存在，運(yùn)用分類(lèi)討論思想構(gòu)造相似三角形，列出成比例線段構(gòu)造方程解決問(wèn)題.

解 假設(shè)存在，設(shè)AP = x. ∵ 在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，∴∠A + ∠D = 180°. ∴∠A = ∠D = 90°.

① 當(dāng)∠APB = ∠DPC時(shí)，

∴△APB ∽ △DPC.

∴ = ，∴x = .

② 當(dāng)∠APB = ∠DCP時(shí)，∴△APB ∽ △DCP.

∴ = ，x2 - 5x + 6 = 0.

∴x = 2或3，綜合①、②，在線段AD上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P，C，D為頂點(diǎn)的三角形相似. 這樣的點(diǎn)P存在3個(gè)，它們到點(diǎn)A的距離AP分別是或2或3.

變式訓(xùn)練：（1）若AD = 4，在線段AD上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P，C，D為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？它們到點(diǎn)A的距離是多少？若不存在，說(shuō)明理由.

分析 問(wèn)題中的AD = 5變式換成AD = 4，其他條件保持不變時(shí)，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成4 - x的變化，其他解決問(wèn)題的方法和思路保持不變. 簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題的思路如下：

①當(dāng)∠APB = ∠DPC時(shí)，∴ = ，∴ x = .

② 當(dāng)∠APB = ∠DCP時(shí)，∴ = ，

∴ x2 - 4x + 6 = 0.

∵ b2 - 4ac = 16 - 24 < 0，

∴方程x2 - 4x + 6 = 0無(wú)實(shí)數(shù)根.

∴線段AD上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P，C，D為頂點(diǎn)的三角形相似. 這樣的P點(diǎn)存在1個(gè)，到點(diǎn)A的距離AP是.

（2）若設(shè)AD=m，在線段AD上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P，C，D為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？它們到點(diǎn)A的距離是多少？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 把問(wèn)題中的AD = 5變式換成AD = m，其他條件保持不變時(shí)，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成m - x的變化，其他解決問(wèn)題的方法和思路保持不變. 分類(lèi)討論問(wèn)題①的解決中相應(yīng)的點(diǎn)P總是存在一個(gè)，而且點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是AP = ，分類(lèi)討論問(wèn)題②的解決中相應(yīng)的點(diǎn)P是否存在取決于方程x2 - mx + 6 = 0中的b2 - 4ac = m2 - 24的大小. 簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題的思路如下：

①當(dāng)∠APB = ∠DPC時(shí)，

∴ = ，∴ x = .

② 當(dāng)∠APB = ∠DCP時(shí)，∴ = ，

∴ x2 - mx + 6 = 0.

∵b2 - 4ac = m2 - 24，∴當(dāng)m > 2時(shí)，方程x2 - mx + 6 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2 = ；當(dāng)m = 2時(shí)，方程x2 - mx + 6 = 0有相等的實(shí)根x1，2 = ；當(dāng)m < 2時(shí)，方程x2 - mx + 6 = 0無(wú)實(shí)根.

∴綜合①、②，在線段AD上總存在點(diǎn)P，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形和以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形相似.

當(dāng)m > 2時(shí)， 這樣的點(diǎn)P存在3個(gè)，且它到點(diǎn)A的距離AP是或或；當(dāng)m = 2時(shí)， 這樣的點(diǎn)P存在2個(gè)，且它到點(diǎn)A的距離AP是或；當(dāng)m < 2時(shí)，這樣的點(diǎn)P存在1個(gè)，且到A的距離AP是.

總之，綜合原題及相應(yīng)的變式訓(xùn)練，我們發(fā)現(xiàn)用方程思想解決此類(lèi)點(diǎn)的存在與否及存在相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定更多地轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

方程思想應(yīng)用非常廣泛，而許多同學(xué)在學(xué)習(xí)中往往見(jiàn)到了方程才想到用方程的思想來(lái)解決，事實(shí)上熟練地利用方程思想解決問(wèn)題學(xué)生要做到以下三點(diǎn)：（1） 要具有正確列出方程的能力. 正確列方程是關(guān)鍵，因此要根據(jù)已知條件，尋找等量關(guān)系列方程. （2）要具備用方程思想解題的意識(shí). 有些幾何問(wèn)題表面上看來(lái)與代數(shù)問(wèn)題無(wú)關(guān)，但是利用代數(shù)方法——列方程來(lái)解決，因此要挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識(shí)，還有一些綜合問(wèn)題，需要通過(guò)構(gòu)造方程來(lái)解決. 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法. 同時(shí)嘗試一題多解的方法，選擇最優(yōu)方案. （3）要掌握運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題的要點(diǎn). 除了幾何的計(jì)算問(wèn)題要使用方程或方程思想以外，經(jīng)常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，方程、函數(shù)、不等式的關(guān)系等內(nèi)容，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用.