挖掘思想 探究本質(zhì)

陶蕊

摘 要：數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的根本源泉，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的指路明燈. 一道好的試題，不在于華麗的“包裝”，而在于本身所蘊(yùn)涵的思想方法. 在教學(xué)中教師要展現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下尋找解決問(wèn)題的多種解法的思維歷程.

關(guān)鍵詞：高考試題；數(shù)學(xué)思想；探究

在數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能中，蘊(yùn)涵著具有普遍性的數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是人們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論，經(jīng)過(guò)高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的根本源泉，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指路明燈. 對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向更深層次的一個(gè)標(biāo)志. 高考試題中也蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想，只有挖掘其中的思想，才能深入認(rèn)識(shí)試題，透徹分析試題，順利解答試題.本文就以2014年浙江數(shù)學(xué)高考文科卷第16題為例，淺談在數(shù)學(xué)思想指引下的解法探究.

試題呈現(xiàn)：已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是_______. （2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試卷第16題）

點(diǎn)評(píng)：此題雖小，卻是亮點(diǎn).看似平常，卻是豐富多彩.入口寬，方法多，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想.

探究視角1 構(gòu)造思想方法的應(yīng)用

構(gòu)造法是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法，其本質(zhì)特征是構(gòu)造，通過(guò)觀察、分析已知條件和需要解決的問(wèn)題，聯(lián)系已有的知識(shí)，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子或數(shù)學(xué)模型，來(lái)解決問(wèn)題.

1. 構(gòu)造重要不等式

x，y∈R，x2+y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等.

推論：x，y∈R，x2+y2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等.

解法1：因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

因?yàn)椋╞+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，

所以-≤a≤，所以a的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等.

解法2：因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，

所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等.

解法3：因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以bc==a2-. 因?yàn)閎，c∈R，b2+c2≥2bc，

所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，

所以a的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等.

2. 構(gòu)造柯西不等式

二維柯西不等式：任取實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2，（x+x）（y+y）≥（x1y1+x2y2）2，

當(dāng)且僅當(dāng)xi=kyi（i=1，2）取等.

解法4：因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.

由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，

所以-≤a≤，所以a的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等.？搖？搖？搖

探究視角2 函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用

函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想之一. 函數(shù)思想是指利用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題.方程思想是指從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如方程、不等式、方程與不等式組等，然后通過(guò)解方程或不等式組使問(wèn)題得到解決.

解法5：（構(gòu)造方程）

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以bc==a2-，

所以b，c為一元二次方程x2+ax+a2-=0的兩個(gè)分布在（-1，1）上的實(shí)根.

所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

點(diǎn)評(píng)：此法是將已知條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程，常用判別式來(lái)探求根的情況，但要注意根的分布.

解法6：（消元，減少變量）

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.

消掉c得，a2+b2+ab-=0.？搖

解法7：（增量換元，構(gòu)造函數(shù)）

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.

所以令b=-+x，c=--x，x∈R，則-+x+--x=1-a2，x∈R.

所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，

所以a的最大值是.

解法8：（三角換元）

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，則-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.

所以sinθ+= ，所以≤1.

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

？搖點(diǎn)評(píng)：換元法又稱輔助元素法、變量代換法，即通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者將條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，或者變?yōu)槭煜さ男问?，從而將?fù)雜的計(jì)算和證明簡(jiǎn)化.

探究視角3 數(shù)學(xué)結(jié)合思想

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.” 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵在于數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，即用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題，或通過(guò)構(gòu)圖解決代數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用不僅能整合學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

解法9：（坐標(biāo)思想，直線與圓的位置關(guān)系）

圖1

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以點(diǎn)（b，c）在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，同時(shí)又在直線b+c+a=0上，則由直線與圓的位置關(guān)系可得：圓心距d=≤.

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

？搖解法10：（構(gòu)造三角形，利用正余弦定理來(lái)解三角形）

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-

消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，為邊構(gòu)造三角形，令其所對(duì)角分別為A，B，D，則由余弦定理可得，cosD==.

（1）若ab>0，則cosD===-，則D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，

則a=sinA，A∈0，，0

圖2

（2）若ab<0，則cosD===，

則D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，

則a=sinA，A∈0，，0

圖3

由（1）（2）可得a的最大值是.

探究視角4 特殊化思想的應(yīng)用

根據(jù)矛盾論的基本原理，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物和解決問(wèn)題的過(guò)程中，必須堅(jiān)持具體問(wèn)題具體分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指導(dǎo)下，具體分析矛盾的特殊性.數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是高考試題變化無(wú)窮、深淺莫測(cè)、精彩紛呈. 在解題中，若能充分挖掘隱藏于問(wèn)題之中或與之相關(guān)的特殊值、特殊點(diǎn)、特殊圖形、特殊位置和特殊結(jié)構(gòu)，則可避免煩瑣的運(yùn)算、作圖和推理，得到意想不到的、新穎獨(dú)特的最佳解法. 這種利用特殊因素，采取特殊方法，解決特殊問(wèn)題的思維方法，我們稱之為特殊化思想方法. 每年的高考題中（尤其是選擇題和填充題）都有幾道題可直接運(yùn)用特殊化思想方法獲解.

解法11：特殊值法

因?yàn)閍+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，則a=-2b，a2=1-2b2.

所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，

所以a的最大值是.

數(shù)學(xué)思想方法不是操作程序，沒(méi)有具體的步驟，需要感悟、理解，但是，沒(méi)有數(shù)學(xué)思想方法就找不到解題方向. 在上述解法探究中，要感悟試題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，在上述四個(gè)視角中體現(xiàn)了構(gòu)造思想、函數(shù)思想、方程思想、換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊化思想. 近年的浙江高考越來(lái)越重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查. 隨著試題難度的上升，數(shù)學(xué)思想方法的作用會(huì)越來(lái)越重要. 教師在教學(xué)中要展現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下尋找解決問(wèn)題的多種解法的思維歷程. 在教學(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法、滲透數(shù)學(xué)思想方法. 滲透數(shù)學(xué)思想有著十分重要的意義，它是使傳統(tǒng)的知識(shí)型教學(xué)向能力型轉(zhuǎn)化，造就開(kāi)拓型人才的重要手段.