數(shù)學基本活動經(jīng)驗積累的六個“著力點”

徐鋒 楊曉榮

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）把基本活動經(jīng)驗作為義務教育階段數(shù)學課程的一個重要目標，但就當前課程實施的現(xiàn)狀而言，“基本活動經(jīng)驗”的研究仍最為薄弱，操作的路徑并不清晰。那么，在課堂實踐中，一線教師究竟有哪些途徑，又該以怎樣的策略引導學生達成這一目標呢？本文就此談一下筆者的思考和實踐。

一、舊知中對接

學習是學生主體將其原有知識經(jīng)驗與新知識互相融合、相互改造，以建構(gòu)自己新的知識經(jīng)驗的過程?；诖?，教師在每次教學前，除了要思考教什么，還要思考學生已經(jīng)具備了學習新知識的哪些經(jīng)驗，更要思考如何利用、整合、提升這些經(jīng)驗，從而實現(xiàn)學生對數(shù)學活動經(jīng)驗的重構(gòu)。

“方程的初步認識”是蘇教版五年級上冊的內(nèi)容，在學習方程之前，學生從一年級開始就經(jīng)歷了在等式的□中填數(shù)的教學活動，積累了豐富的有關求未知數(shù)的基本活動經(jīng)驗。那么，教師該如何有效利用這些基本活動經(jīng)驗，為學生建構(gòu)新知服務呢？我們來看一位教師的教學設計：

1.引入（略）。

2.出示：6+□=13。

師：這樣的等式，我們見過嗎？（學生饒有興趣地作答）

師：方框里填幾？你是怎樣思考的？

3.比較：6+□=13與6+7=13有什么不一樣？（交流后概括，區(qū)別就在于有沒有未知數(shù)）

4.你能再列舉一些含有□的等式嗎？（引導學生從+、-、×、÷不同角度列舉，教師適時板演）

師：這些算式，我們以前都見過，它們有什么共同點？（思考、交流后引導學生概括得出：有未知數(shù)，是等式）

師：用未知數(shù)“x”（或其它字母）代替以上等式中的□，這便成了今天這堂課我們一起要學習的新知識——方程，你能說說到底什么是方程嗎？

數(shù)學教學只有植根于學生的已有經(jīng)驗，并在此基礎上展開，才能真正激活學生的已有認知，幫助學生有效地理解和建構(gòu)新知，上例的教學較好地說明了這一點。上例中，教者找準了學生的“已有經(jīng)驗”，并很自然地溝通了新的認知起點和已有經(jīng)驗之間的聯(lián)系，這樣做一是給學生學習新知帶來了豐富的表象支撐，有效激活了學生的已有經(jīng)驗；二是便于學生在學習新知時能夠及時提取腦海中已有的活動經(jīng)驗給所學的抽象概念進行編碼，幫助學生逐步把感性的經(jīng)驗理性化，模糊的經(jīng)驗明晰化，松散的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)化，從而實現(xiàn)對個體經(jīng)驗的優(yōu)化和內(nèi)化。

二、 生活中轉(zhuǎn)化

數(shù)學基本活動經(jīng)驗是人們的“數(shù)學現(xiàn)實”最貼近生活現(xiàn)實的部分。數(shù)學現(xiàn)實就像一座金字塔，從與生活現(xiàn)實密切相關的底層開始，一步步抽象，直至上層的數(shù)學現(xiàn)實。針對大家最為關注的生活中的數(shù)學經(jīng)驗，張奠宙、趙小平教授把它們細分為可以“直接拿來”，可以“類比促進”，可能“產(chǎn)生負面影響”及“包含一般規(guī)律”的生活經(jīng)驗這樣四類。從這些分類中容易看出，生活經(jīng)驗的運用有時可以“拿來”，但又不僅僅全都是“拿來”。故教師在教學中應重視讓學生借助自己的生活經(jīng)驗去理解、分析、解決問題，除此之外，尤為重要的一點是教師應重視對現(xiàn)實、具體的生活經(jīng)驗的適度提升，注重將生活經(jīng)驗數(shù)學化，從而不斷豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗。

例如，“線的認識”一課的教學，由于射線與直線在生活中的原型不能直接為我們所用，所以，該環(huán)節(jié)的教學教師感到一籌莫展。那如何突破這一教學上的“難點”呢？我們來看一看浙江省特級教師俞正強執(zhí)教本環(huán)節(jié)的一個教學片段。

師：接下來我們專門來討論直直的線，請同學們說說哪些地方有直直的線？

生：桌子的邊、窗戶的邊……

師：哦，真多。有沒有更長些的直直的線？

生：電線、公路、目光……

師：是，生活中有許許多多的直直的線，有的線我們看到的比較多，有的線我們看到的比較少。老師提供給大家兩張圖片（出示夜晚的射燈和海平面的天際線的圖片）。這些圖片中都有直直的線，這些直直的線和大家前面列舉的直直的線有不同嗎？

生1：這些直直的線都老長老長，看不到頭。

生2：射燈是往一邊看不到頭，天際線是哪兩邊都看不到頭，我們前面列舉的都是眼睛能看到頭的。

師：同學們支持他的說法嗎？

生：支持。

（教師將學生的結(jié)論整理成如下板書。）

師：現(xiàn)在你們能畫出這些類型對應的示意圖嗎（教師引導學生畫出上右的示意圖）。這些直直的線上的“頭”，在數(shù)學中叫做端點。

生活經(jīng)驗是兒童數(shù)學學習的重要依托，也是教師教學可以利用的重要資源。教學時，教師應有意識地在生活中尋找與數(shù)學新知有聯(lián)系的場景和事例，瞄準數(shù)學與學生經(jīng)驗的最佳聯(lián)結(jié)點并激活經(jīng)驗，促進生成，活化數(shù)學文本。如果教學能夠有效地把握并激活學生的生活經(jīng)驗，數(shù)學學習將會變得形象有趣、簡單高效，這便是上例給我們的最好的啟示。

三、 活動中豐富

經(jīng)驗積累離不開活動，學生只有經(jīng)歷豐富的數(shù)學活動，才能夠積累足夠的數(shù)學活動經(jīng)驗。但這里所說的活動并不僅僅是指外顯的肢體活動，更重要的是內(nèi)隱的思維活動。數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，也并不僅僅是指看得見摸得著的物化的動手操作活動的結(jié)果，更重要的是指在活動中領悟到的、沉淀下來的理性思考?；诖?，數(shù)學活動應突出讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，讓學生從自己的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)過自己的觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、比較，揭示出感性經(jīng)驗背后理性抽象的數(shù)學經(jīng)驗，如此，活動對教學來說才是有效的，對學生來說才是有益的。

教學蘇教版四年級上冊“觀察物體”。有這樣一個問題：用4個同樣大小的正方體擺一個立體圖形，從正面看是□□□ ，從側(cè)面看是□□ ，可以怎樣擺？學生經(jīng)過獨立操作，小組交流后，得出這樣3種擺法： 。應該說操作為同學們積累了很好的感性層面的活動經(jīng)驗，然而我們的教學卻不能僅停留于此，故交流還在繼續(xù)。

師：同學們的方法異中有同，想一想，能找出它們的特征或規(guī)律嗎？

生：它們都是把3個小正方體連在一起，另一個小正方體擺在后面。

師：有道理，由另一個小正方體擺在后面同學們又會聯(lián)想到什么呢？怎樣思考更有條理？

生：可以分兩種情況，前面有3種擺法，后面也有3種，一共有6種。

師：繼續(xù)思考，這種擺法 符合要求嗎？由3個一排聯(lián)想到2個一排，前后兩排，能擺出符合要求的圖案嗎？（學生的討論、交流在繼續(xù)，思維探究的熱情更為高漲）如果從正面、側(cè)面看形狀不變，至少需要多少個小正方體？這個問題的解決過程對我們有什么啟示？

數(shù)學活動經(jīng)驗的積累離不開活動中學生思維、情感的參與，而學生思維、情感參與的前提是教者所精心設計好的問題的激發(fā)和導引，只有有了好的問題的激發(fā)和導引，才能使活動具有更強的針對性、更高的思維含量和更完滿的規(guī)則意識，只有在不斷地提出問題、分析、解決的過程中，學生已有的經(jīng)驗才能被激活，粗糙的經(jīng)驗才能漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗才能獲得有效的提升，活動對學生而言才具有經(jīng)驗積累的價值。

四、 交流中完善

數(shù)學活動經(jīng)驗是一種“前科學”，屬于“個人觀點”，一般帶有明顯的個體認知和思維特征。個體在活動中獲得的經(jīng)驗往往是模糊的、零散的，要將其清晰化、條理化、系統(tǒng)化，一個很重要的方式就是給學生提供一個“合作交流”的平臺，讓個體的活動經(jīng)驗在群體的經(jīng)驗交流中補充、充實、豐富、發(fā)展，幫助學生完成經(jīng)驗從低層次到高層次的超越，實現(xiàn)經(jīng)驗的優(yōu)化和內(nèi)化。

“商不變的規(guī)律”是四年級下冊的內(nèi)容，我們來看看學生在獨立嘗試、自主探索后著名特級教師吳正憲組織的一個合作交流活動：

生1：我發(fā)現(xiàn)這樣的式子一生一世，永遠也寫不完。

生2：我發(fā)現(xiàn)了被除數(shù)和除數(shù)你乘10，我也乘10，商就不變。

師：1號同學你聽了2號同學的交流，有什么新想法嗎？

生1：我只看到了商不變，永遠寫不完的式子，但是我發(fā)現(xiàn)生2寫出了商不變的原因。

師：對呀，2號同學打開了一扇窗，進到里面去尋求商為什么不變的原因。他巧妙地發(fā)現(xiàn)了：只要你乘10，我也乘10，商就不變。這就是主動發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和思考問題的過程。

生3：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)你乘幾，我就跟著乘幾，商一定不變。

師：3號跟2號又有什么區(qū)別？（教室里熱鬧起來）

生2：我總結(jié)的那個只能管住第一題乘10的，而3號同學把大家寫出的式子都管上了。我的總結(jié)有點窄了。

生4：我的方法更簡單，被除數(shù)乘a，除數(shù)也乘a，商就不變。

師：一個簡單的字母加上運算符號就把商不變的規(guī)律講的清清楚楚，確實不錯。

上例的教學無疑是真實、鮮活和生動的。整個過程教者重視對學生已有經(jīng)驗的暴露、挖掘與展示，除此之外，更為重要的是教者為學生搭建了對話交流的平臺，讓學生最大限度地去交流理解，體驗感悟，學生在對話交流中找到了原有經(jīng)驗與新知的聯(lián)系，在比較溝通中達成了對已有經(jīng)驗的改造、生長和建構(gòu)，學生的數(shù)學活動經(jīng)驗在辨析中去粗取精，不斷豐富和提升。

五、 反思中提升

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾認為，反思是數(shù)學活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不能從一個水平升華到更高的水平。由此，當學生經(jīng)歷數(shù)學活動或活動經(jīng)驗積累到一定程度后，教師應引導學生在回顧的基礎上進行深刻反思，這樣做，一方面可以使學生對經(jīng)歷的過程有更為清晰的認識，另一方面也是更為重要的是可以提升學生感性活動中的理性成分，使積累起來的數(shù)學活動經(jīng)驗能夠更好地為學生今后的學習所用，并逐漸建立起屬于他們自己的數(shù)學觀，而這顯然是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的核心和關鍵所在。

例如，在江蘇省特級教師年會上，筆者執(zhí)教了蘇教版五下“找規(guī)律”一課，課尾，筆者引導學生經(jīng)歷了這樣的反思過程：同學們，今天這堂課我們一起學習了找規(guī)律，有兩個問題值得我們再去思考一番：第一，既然是找規(guī)律，那我們找到規(guī)律了嗎？找到的又是什么規(guī)律呢？第二個更為重要的問題是，結(jié)合找規(guī)律的活動過程想一想，我們是怎樣找到這個規(guī)律的啊，哪些重要的數(shù)學學習的思想方法在其中發(fā)揮了重要作用？

回顧與反思猶如繪畫中的點睛之筆。上例中，教者深刻認識到課堂總結(jié)對學生經(jīng)驗積累及思維提升所起的作用，把它作為教學的重點環(huán)節(jié)作了精心的思考、設計和安排，引導學生通過反思去提煉解題思路，分析思維過程，總結(jié)策略方法，剖析問題實質(zhì)。學生所積累的是比知識更有價值的關于方法、策略性的經(jīng)驗。

六、 應用中深化

學生完整的活動經(jīng)驗的積累不能缺少應用經(jīng)驗，學生獲得的經(jīng)驗也只有在具體的應用中才能逐步深化。又由于有效的數(shù)學活動經(jīng)驗的積累必定是在新問題情境下運用已有的知識經(jīng)驗來成功處理新信息、新問題的活動，并以學生領悟經(jīng)驗、反思經(jīng)驗、改造經(jīng)驗為目的。故這里所說的應用并不是一般的解決現(xiàn)成的數(shù)學問題，也不是簡單地對一個問題尋找答案的過程，教師應通過創(chuàng)設形式不同、本質(zhì)相同的情境，讓學生在解決新問題時靈活運用所獲得的經(jīng)驗，從而使活動經(jīng)驗在應用中深化。

例如，學習了“長方體的表面積”一課后，筆者從餐巾紙的包裝入手，啟發(fā)學生思考并實踐，10盒餐巾紙（可用火柴盒代替）包裝成一條，你能設計出幾種不同的包裝方案，商場里一條（10包）餐巾紙又是怎樣包裝的，為什么要這樣包裝？這樣的應用，學生有思考、有實踐、且策略多樣，既培養(yǎng)了學生靈活運用知識解決問題的能力，又能讓學生在應用中體驗數(shù)學學習的價值。

應用意識的生成便是知識經(jīng)驗形成的標志。數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與獲得，是一個漸進、逐步提升的過程，加強遷移應用，可以使學生的數(shù)學活動經(jīng)驗上升到一個更高的水平，實現(xiàn)經(jīng)驗的改造和重組。

數(shù)學活動經(jīng)驗的積累不是一句空洞的口號，而是數(shù)學課堂活動的整體實踐。與一般的數(shù)學知識相比，數(shù)學活動經(jīng)驗沒有明確的邏輯起點和邏輯結(jié)構(gòu)，卻又實在地以無形存在于學生數(shù)學學習的有形中，這就需要我們以課堂為依托，不斷探索和實踐。

（徐鋒、楊曉榮，宜興市第二實驗小學，214200）

責任編輯：趙赟